Campo de velocidad

[Luis]

Un fluido se desplaza en el plano XY de modo que cada
partícula se mueve en línea recta desde el origen. Si una
partícula está a la distancia r del origen, su velocidad es
a r^n , donde "a" y "n" son constantes.

Se pide :

(i) Determinar los valores de "a" y "n" para los cuales el
campo de velocidades es el gradiente de cierto campo
escalar.

(ii) Encontrar una función potencial del campo.

Saludos,

[Antonio González]

Post by Luis
Un fluido se desplaza en el plano XY de modo que cada
partícula se mueve en línea recta desde el origen. Si una
partícula está a la distancia r del origen, su velocidad es
a r^n , donde "a" y "n" son constantes.
(i) Determinar los valores de "a" y "n" para los cuales el
campo de velocidades es el gradiente de cierto campo
escalar.

Un campo central es siempre potencial.

Post by Luis
(ii) Encontrar una función potencial del campo.

a r^(n+1)/(n+1)

[Luis]

Post by Antonio González

Post by Luis
Un fluido se desplaza en el plano XY de modo que cada
partícula se mueve en línea recta desde el origen. Si una
partícula está a la distancia r del origen, su velocidad es
a r^n , donde "a" y "n" son constantes.
(i) Determinar los valores de "a" y "n" para los cuales el
campo de velocidades es el gradiente de cierto campo
escalar.

Un campo central es siempre potencial.

Post by Luis
(ii) Encontrar una función potencial del campo.

a r^(n+1)/(n+1)

¿ Y si n = -1 ?

Post by Antonio González
Antonio

[Antonio González]

Post by Luis

Post by Antonio González

Post by Luis
Un fluido se desplaza en el plano XY de modo que cada
partícula se mueve en línea recta desde el origen. Si una
partícula está a la distancia r del origen, su velocidad es
a r^n , donde "a" y "n" son constantes.
(i) Determinar los valores de "a" y "n" para los cuales el
campo de velocidades es el gradiente de cierto campo
escalar.

Un campo central es siempre potencial.

Post by Luis
(ii) Encontrar una función potencial del campo.

a r^(n+1)/(n+1)

¿ Y si n = -1 ?

Pues el logaritmo, como corresponde. (o tomas el límite n->1 y te sale
solo).

Es una integral ordinaria

[Luis]

Post by Antonio González

Post by Luis

Post by Antonio González

Post by Luis
Un fluido se desplaza en el plano XY de modo que cada
partícula se mueve en línea recta desde el origen. Si una
partícula está a la distancia r del origen, su velocidad es
a r^n , donde "a" y "n" son constantes.
(i) Determinar los valores de "a" y "n" para los cuales el
campo de velocidades es el gradiente de cierto campo
escalar.

Un campo central es siempre potencial.

Post by Luis
(ii) Encontrar una función potencial del campo.

a r^(n+1)/(n+1)

¿ Y si n = -1 ?

Pues el logaritmo, como corresponde. (o tomas el límite n->1 y te sale
solo).
Es una integral ordinaria
--
Antonio

Me gustaría saber si me complico un poco la existencia.

Lo que yo asumo es que el módulo de la velocidad en
cada punto es a ( x^2 + y^2 )^(n/2) y como se trata
de un campo radial ( o central ) pues entonces las
dos componentes del campo de velocidades f serán

f(x,y) = ( a x (x^2+y^2)^(n-1)/2 , a y (x^2+y^2)^(n-1)/2 )

Imponiendo ahora :

dU/dx = a x (x^2+y^2)^(n-1)/2 , dU/dy = a y (x^2+y^2)^(n-1)/2

obtenemos U(x,y) = ( a(x^2+y^2)^(n+1)/2 )/(n+1) + k

si n =/= -1 . O sea, U(r) = ar^(n+1) / (n+1) + k

Pero algo me dice que todo esto se puede obviar y trabajar
directamente con la función g(r) = a r^n . ¿ Es así ?

Saludos,

[Antonio González]

Post by Luis

Post by Antonio González

Post by Luis

Post by Antonio González

Post by Luis
Un fluido se desplaza en el plano XY de modo que cada
partícula se mueve en línea recta desde el origen. Si una
partícula está a la distancia r del origen, su velocidad es
a r^n , donde "a" y "n" son constantes.
(i) Determinar los valores de "a" y "n" para los cuales el
campo de velocidades es el gradiente de cierto campo
escalar.

Un campo central es siempre potencial.

Post by Luis
(ii) Encontrar una función potencial del campo.

a r^(n+1)/(n+1)

¿ Y si n = -1 ?

Pues el logaritmo, como corresponde. (o tomas el límite n->1 y te sale
solo).
Es una integral ordinaria
--
Antonio

Me gustaría saber si me complico un poco la existencia.
Lo que yo asumo es que el módulo de la velocidad en
cada punto es a ( x^2 + y^2 )^(n/2) y como se trata
de un campo radial ( o central ) pues entonces las
dos componentes del campo de velocidades f serán

Tu problema, que te he dicho mil veces, es que te empeñas en trabajar en
cartesianas.

El gradiente en polares es

grad(g) = dg/dr U_r + (1/r) dg/d(phi) U_phi

Por tanto, todo campo de la forma

f = a r^n U_r

es un gradiente en el que

a r^n = dg/dr --> g = a r^(n+1)/(n+1)

[Luis]

Post by Antonio González

Post by Luis

Post by Antonio González

Post by Luis

Post by Antonio González

Post by Luis
Un fluido se desplaza en el plano XY de modo que cada
partícula se mueve en línea recta desde el origen. Si una
partícula está a la distancia r del origen, su velocidad es
a r^n , donde "a" y "n" son constantes.
(i) Determinar los valores de "a" y "n" para los cuales el
campo de velocidades es el gradiente de cierto campo
escalar.

Un campo central es siempre potencial.

Post by Luis
(ii) Encontrar una función potencial del campo.

a r^(n+1)/(n+1)

¿ Y si n = -1 ?

Pues el logaritmo, como corresponde. (o tomas el límite n->1 y te sale
solo).
Es una integral ordinaria
--
Antonio

Me gustaría saber si me complico un poco la existencia.
Lo que yo asumo es que el módulo de la velocidad en
cada punto es a ( x^2 + y^2 )^(n/2) y como se trata
de un campo radial ( o central ) pues entonces las
dos componentes del campo de velocidades f serán

Tu problema, que te he dicho mil veces, es que te empeñas en trabajar en
cartesianas.
El gradiente en polares es
grad(g) = dg/dr U_r + (1/r) dg/d(phi) U_phi
Por tanto, todo campo de la forma
f = a r^n U_r
es un gradiente en el que
a r^n = dg/dr --> g = a r^(n+1)/(n+1)
--
Antonio

Vale, visto así. Gracias

Saludos,