Efectivamente, solo son estos dos casos.
Escribimos 2^(p-1)-1= p * x^2.
Dado que p es impar, p-1 es par, por lo tanto p-1=2*n para cierto n.
Asi 2^(p-1)-1=2^(2*n)-1 = (2^n-1)(2^n+1).
Y por lo tanto tenemos que
(2^n-1)(2^n+1)= p * x^2.
Por otra parte, 2^n-1 y 2^n-1 son coprimos entre si, asi que uno tiene
que ser p
por un cuadrado y el otro tiene que ser un cuadrado. Tenemos por lo
tanto
solo dos opciones:
Opcion 1:
2^n - 1 = p * y^2,
2^n + 1 = z^2
Asi 2^n = (z-1)(z+1).
Por lo tanto z-1 y z+1 tiene que ser los dos potencia de dos! Esto solo
puede pasar si
z=3, z-1=2 y z+1=2^2.
Entonces z^2=9=2^3+1, y por lo tanto n=3, de donde p-1=6, o sea p=7
Opcion 2
2^n + 1 = p * y^2,
2^n - 1 = z^2
Asi tenemos que 2^n=z^2+1. Esta ecuacion tiene dos soluciones
evidentes:
La trivial n=0, z=0, que no nos funciona.
La solucion n=1, z=1, que nos da p=2*1+1=3.
Por que no tiene mas? Facil: si n>1, entonces 2^n es multiplo de 4.
Haciendo modulo 4 tenemos que
z^2=-1 (mod 4).
Pero los unicos cuadrados modulo 4 son 0 y 1.
Xavi
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