Endomorfismo

[José David Villanueva García]

Hola a todos. Tenemos la siguiente aplicación lineal representada en la
matriz. Nos piden las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones implícitas
del kernel y de la imagen.
| 2 0 1 |
| 1 1 1 |
| -2 0 -1|

1) Hallamos las ecuaciones implícitas y las paramétricas del kernel

Las implícitas son: 2x1 + x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
-2x1 - x3 = 0

Como el rango de la matriz es 2, la dimensión del kernel es 1, y por lo
tanto tenemos un
grado de libertad (nos damos cuenta de que la primera ecuación es "menos" la
segunda).

Así, siendo x1 = p, x3 = -2p y sustituyendo en la segunda, p + x2 - 2p = 0
por lo que
x2 = 2p - p = p. Así:

x1 = p
x2 = p
x3 = -2p

son las ecuaciones paramétricas de la dirección de la proyección.

2) Hallamos las ecuaciones implícitas y las paramétricas de la imagen:

Como el rango es dos, basta tomar dos columnas con un determinante
menor de
orden 2 no nulo:

| 0 1|
| 1 1|
| 0 -1|

Al multiplicar por los dos parámetros, me queda:

y1 = p
y2 = t + p
y3 = -p

¿Cómo me quedan las implícitas?. Porque sólo tendría una sóla ecuación al
ser el rango 2 ¿no?.¿Sería y1 + y3 = 0 el plano?. ¿Que hago con el parámetro
t?

Muchas gracias a todos.

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Tuesday, November 07, 2006 7:50 PM [GMT+1=CET],

Post by José David Villanueva García
Hola a todos. Tenemos la siguiente aplicación lineal representada en
la matriz. Nos piden las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones
implícitas del kernel y de la imagen.

Post by José David Villanueva García
2 0 1 |
1 1 1 |
-2 0 -1|

1) Hallamos las ecuaciones implícitas y las paramétricas del kernel
Las implícitas son: 2x1 + x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
-2x1 - x3 = 0
Como el rango de la matriz es 2, la dimensión del kernel es 1, y por
lo tanto tenemos un
grado de libertad (nos damos cuenta de que la primera ecuación es
"menos" la segunda).
Así, siendo x1 = p, x3 = -2p y sustituyendo en la segunda, p + x2 -
2p = 0 por lo que
x1 = p
x2 = p
x3 = -2p
son las ecuaciones paramétricas de la dirección de la proyección.
Como el rango es dos, basta tomar dos columnas con un determinante
menor de

Post by José David Villanueva García
0 1|
1 1|
0 -1|

y1 = p
y2 = t + p
y3 = -p
¿Cómo me quedan las implícitas?. Porque sólo tendría una sóla
ecuación al ser el rango 2 ¿no?.¿Sería y1 + y3 = 0 el plano?. ¿Que
hago con el parámetro t?

Sera

y1 + y3 = 0 (y2 cualquiera)

Se trata de un 'plano' (subespacio vectorial de dim 2) paralelo al segundo
vector de la base.


Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
***@mundo-r.com

[Jose Marcos]

Post by José David Villanueva García
Hola a todos. Tenemos la siguiente aplicación lineal representada en la
matriz. Nos piden las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones implícitas
del kernel y de la imagen.
| 2 0 1 |
| 1 1 1 |
| -2 0 -1|
1) Hallamos las ecuaciones implícitas y las paramétricas del kernel
Las implícitas son: 2x1 + x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
-2x1 - x3 = 0
Como el rango de la matriz es 2, la dimensión del kernel es 1, y por lo
tanto tenemos un
grado de libertad (nos damos cuenta de que la primera ecuación es "menos" la
segunda).
Así, siendo x1 = p, x3 = -2p y sustituyendo en la segunda, p + x2 - 2p = 0
por lo que
x1 = p
x2 = p
x3 = -2p
son las ecuaciones paramétricas de la dirección de la proyección.
Como el rango es dos, basta tomar dos columnas con un determinante
menor de
| 0 1|
| 1 1|
| 0 -1|
y1 = p
y2 = t + p
y3 = -p
¿Cómo me quedan las implícitas?. Porque sólo tendría una sóla ecuación al
ser el rango 2 ¿no?.¿Sería y1 + y3 = 0 el plano?. ¿Que hago con el parámetro
t?
Muchas gracias a todos.

Todo cuadra: y1+y3=0 son las ecuaciones implícitas de la imagen.
Como y2 puede tomar cualquier valor, da igual que dependa de 2 ó de
veinte parámetros.

Jose E.