Criterio de convergencia de integrales

[Luis]

Someto a discusión este criterio de convergencia
( que uso a menudo ) para integrales impropias
de primera especie :

Sea Lim f(x)/g(x) = L ( cuando x --> inf )

Entonces :

(i) Si L > 0 , las dos integrales impropias ( desde "a" a infinito )

de f y g tiene igual carácter.

(ii) Si L = 0 y la integral impropia de g converge, entonces la

de f también converge.

(iii) Si L = + inf y la integral impropia de g diverge, entonces

la de f también diverge.

Lo que me gustaría es ver una demostración de este criterio

y, cuanto menos, ver el resultado simplemente de una forma

intuitiva. No sé, algo así como cuando concluimos que la

integral es divergente si el límite del integrando no es cero,

lo cual es claro.

Saludos,

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by Luis
Someto a discusión este criterio de convergencia
( que uso a menudo ) para integrales impropias
Sea Lim f(x)/g(x) = L ( cuando x --> inf )
(i) Si L> 0 , las dos integrales impropias ( desde "a" a infinito )
de f y g tiene igual carácter.
(ii) Si L = 0 y la integral impropia de g converge, entonces la
de f también converge.
(iii) Si L = + inf y la integral impropia de g diverge, entonces
la de f también diverge.
Lo que me gustaría es ver una demostración de este criterio
y, cuanto menos, ver el resultado simplemente de una forma
intuitiva. No sé, algo así como cuando concluimos que la
integral es divergente si el límite del integrando no es cero,
lo cual es claro.
Saludos,

Es solo cuestión de aplicar el criterio de comparación, ¿no?

[Luis]

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Luis
Someto a discusión este criterio de convergencia
( que uso a menudo ) para integrales impropias
Sea Lim f(x)/g(x) = L ( cuando x --> inf )
(i) Si L> 0 , las dos integrales impropias ( desde "a" a infinito )
de f y g tiene igual carácter.
(ii) Si L = 0 y la integral impropia de g converge, entonces la
de f también converge.
(iii) Si L = + inf y la integral impropia de g diverge, entonces
la de f también diverge.
Lo que me gustaría es ver una demostración de este criterio
y, cuanto menos, ver el resultado simplemente de una forma
intuitiva. No sé, algo así como cuando concluimos que la
integral es divergente si el límite del integrando no es cero,
lo cual es claro.
Saludos,

Es solo cuestión de aplicar el criterio de comparación, ¿no?

Bueno, para mí éste es un criterio de comparación. Comparas
con una integral que sabes que es convergente o divergente.
Es lo mismo con las series numéricas de términos positivos.

También se usa mucho ver si la integral ( o la serie ) está mayorada
por otra convergente ( o si la integral ( o la serie ) es mayor que
otra divergente ).

Tal vez sea esto la madre del cordero. ¿ Son equivalentes ?

Al calcular el límite de los integrandos ( o el límite de los términos
generales de las series ) yo pierdo la intuición y no veo la relación.
Lo aplico de memoria y punto. Y eso no me gusta.

A ver si puedes darme alguna explicación intuitiva.

Saludos,

[Luis]

Post by Luis

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Luis
Someto a discusión este criterio de convergencia
( que uso a menudo ) para integrales impropias
Sea Lim f(x)/g(x) = L ( cuando x --> inf )
(i) Si L> 0 , las dos integrales impropias ( desde "a" a infinito )
de f y g tiene igual carácter.
(ii) Si L = 0 y la integral impropia de g converge, entonces la
de f también converge.
(iii) Si L = + inf y la integral impropia de g diverge, entonces
la de f también diverge.
Lo que me gustaría es ver una demostración de este criterio
y, cuanto menos, ver el resultado simplemente de una forma
intuitiva. No sé, algo así como cuando concluimos que la
integral es divergente si el límite del integrando no es cero,
lo cual es claro.
Saludos,

Es solo cuestión de aplicar el criterio de comparación, ¿no?

Bueno, para mí éste es un criterio de comparación. Comparas
con una integral que sabes que es convergente o divergente.
Es lo mismo con las series numéricas de términos positivos.
También se usa mucho ver si la integral ( o la serie ) está mayorada
por otra convergente ( o si la integral ( o la serie ) es mayor que
otra divergente ).
Tal vez sea esto la madre del cordero. ¿ Son equivalentes ?
Al calcular el límite de los integrandos ( o el límite de los términos
generales de las series ) yo pierdo la intuición y no veo la relación.
Lo aplico de memoria y punto. Y eso no me gusta.
A ver si puedes darme alguna explicación intuitiva.
Saludos,

Por ejemplo, si Int( f ) <= Int (g ) y esta última
es convergente, pues la primera es convergente.

¿ Eso equivale a la condición (i) ? Pues no lo veo.

Y si Int( f ) >= Int( g ) = inf , ¿ eso equivale a la
condición (iii). Pues no lo veo.

Sin embargo, sí... es posible que por ahí vayan los tiros.

Tal vez tenga que reflexionar un poco.

Saludos,