Post by Ignacio Larrosa CañestroPost by Antonio GonzálezDada la ecuación cúbica
x^3 + px^2 + qx + r = 0
¿Qué desigualdades deben verificar p, q y r para que las raíces sean
los lados de un triángulo?
Para el caso límite en que una es la suma de las otras dos, se tiene que
r = p(4q - p^2)/8
En este caso, las tres raíces son
(- p + rq(5p^2 - 16q))/4, (- p - rq(5p^2 - 16q))/4, x = - p/2
Para que las tres sean reales y positivas, debe se sdemás
4p^/16 < q < 5p^2/16 (y p < 0, claro)
Si a ese valor de r se le añade un valor de e verificando
p(11p^2 - 36q)/216 - 2(p^2 - 3q)^(3/2)/27 < e < p(11p^2 - 36q)/216 + 2(p^2 -
3q)^(3/2)/27
(en las condiciones anteriores, p^2 > 3q)
'creo' que las tres raíces siguen siendo reales y positivas, y cada una de
ellas menor o igual que la suma de las otras dos.
Podemos verlo de esta forma. Las condiciones para que una ecuación cúbica
F(x) = x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
tenga tres raíces positivas (no necesariamente triangulares) son que
R < 0
y que el discriminante
P^2Q^2 - 4Q^3 - 4P^3R + 18PQR - 27R^2 > 0
(este discriminante sale de hallar las raíces x1 y x2 de F'(x)=0 y luego
imponer que -F(x1)F(x2) > 0). Creo que no hace falta imponer que x1 y x2
existan, pero por si acaso añadimos el discriminante de la ecuación
cuadrática:
P^2 - 3Q > 0
y, para mayor seguridad, la condición obvia,
P < 0
Podemos expresar este resultado diciendo que, dados tres números x1, x2
y x3, podemos decir que son positivos si dadas las cantidades
P = -x1-x2-x3 Q = x1x2 + x1x3 + x2x3 R = -x1x2x3
se cumplen las desigualdades anteriores.
Vamos ahora con el triángulo. Tres cantidades a, b y c forman un
triángulo si y solo sí existen tres números positivos tales que
a = (x2+x3)/2 b = (x1+x3)/2 c = (x1 + x2)/2
o, equivalentemente,
x1 = -a+b+c x2 = a-b+c x3 = a+b-c
Por tanto, lo único que tenemos que hacer es expresar las condiciones
anteriores en términos de a, b y c. Sean
p = -a-b-c q = ab + ac + bc r = -abc
tenemos que
P = p
Q = 4q - p^2
R = -p^3 + 4pq + 8r
de forma que las condiciones para la cúbica triangular se convierten en
(simplificando)
r + pq/2 - p^3/8 < 0
p^2 - 3q > 0
p^2q^2 - 4q^3 + 4p^3r - 18pqr - 27r^2 > 0
p < 0
Las tres últimas condiciones son las mismas que antes, pues los tres
lados son obviamente cantidades positivas. Solo la primera se convierte
en una condición más restrictiva, ya que ahora es
r + (p/2)(q-p^2/4) = r + |p/2|((p^2/3-q) + p^2/12) < 0
y el término que se suma a r es siempre positivo, lo que hace más
dificil que esta cantidad sea negativa.
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Antonio