Concavidad y convexidad.... ¡Qué dilema!

Discussion:

(demasiado antiguo para responder)

JoRDi

2003-07-25 19:18:48 UTC

Hola a todos!

Bien el objeto de mi tema es que, ¿que conocéis vosotros por
concavidad y convexidad? El caso es que, mi profesora nos explicó que
la concavidad era así:
-
- -
- -
y, de toda la vida en física, la concavidad nos han explicado que es a
la inversa (ya me entendáis, no me hagáis dibujarla jeje). La
curiosidad mía y de un par de compañeros nos llevó a investigar cómo
era realmente la forma de una función cóncava. Tras una de nuestras
investigaciones en un libro antiguo (de nuestro profesor de repaso)
dimos cuenta de que la llamaban... ¡cóncava hacia arriba y cóncava
hacia abajo!. Seguimos recapitulando información de más libros, y,
para nuestra no sorpresa, comprobamos que cada libro lo denominaba
como le salía de ahí. Tal fue nuestro "enfado" que acabamos por
denominarlo como habíamos hecho siempre, cóncava así:
- -
- -
- -
porque... cóncava nos dice que es una función en la que "cavas", y así
nos lo enseñaron la primera vez que nos dieron a conocer concavidad y
convexidad de las funciones.

¡Quizás sea una tontería y no responda nadie! Pero para nosotros fue
una "rayada" impresionante durante casi una semana, ¡hasta casi hubo
una pelea por imponer la opinión entre dos personas!

Bueno, cambiando de tema, es la primera vez que escribo en este foro,
y creo que voy a venir a menudo por aquí. Por los posts que he leído,
la gente parece ser maja.

Y... por último, y ya que estoy aquí, me gustaría comentar que es mi
intención hacer Licenciatura de Matemáticas en la Universidad de
Zaragoza. Tengo 17 años, y ya he acabado Bachillerato (bueno, casi,
porque con una nota media de 7.3 no ha querido aprobarme la "señorita"
de dibujo...), y como ya no puedo estudiar Ingenieria Informática
(porque en septiembre están cubiertas todas las plazas) sigo mi tabla
de prioridades hasta llegar a las Matemáticas, una ciencia que me
apasiona. Sin más rodeos, me gustaría conocer vuestras opiniones
acerca de esta preciosa carrera: cuánto estudiáis diariamente, la
progresión de la dificultad entre curso y curso, cómo son los futuros
matemáticos (los típicos empollones de gafas y "cortaos"). Yo
realmente me siento con ganas y capacidad para estudiar cualquier
carrera científica, pero tengo mis dudas de si realmente voy a ser
capaz de acabarla, y sobre todo en cuanto tiempo... ¿Sabéis más o
menos cual es la media de acabar una carrera? Lo chungo es que me
gustaría estudiar también Ingenieria Informática; y en el caso de que
hiciera las 2, y repitiendo 2 o 3 cursos por cada ingenieria, acabaría
de estudiar casi a los 40 años...

En definitiva, soy un joven con ganas de comerme el mundo, que a la
vez está perdido en este mar que llaman "el ser adulto", y me gustaría
mucho que me ayudara o ayudaran, ya que vosotros sí sabéis realmente
como es este mundo.

Muchas gracias por su atención y, ¡espero respuesta/s!

Jordi

Carlos

2003-07-26 05:47:17 UTC

Permalink

Lo de 2/3 años por curso en ingenieria es un tonteria. Yo soy ingeniero
industrial e hice curso por año como muchos otros amigos. Muchos se
retrasan un año en el total de la carrera o dos, pero no suele ir más allá.

Evidentemente hay que currar, pero nada que alguien con interés no pueda
hacer.

Saludos

Post by JoRDi
Hola a todos!
Bien el objeto de mi tema es que, ¿que conocéis vosotros por
concavidad y convexidad? El caso es que, mi profesora nos explicó que
-
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y, de toda la vida en física, la concavidad nos han explicado que es a
la inversa (ya me entendáis, no me hagáis dibujarla jeje). La
curiosidad mía y de un par de compañeros nos llevó a investigar cómo
era realmente la forma de una función cóncava. Tras una de nuestras
investigaciones en un libro antiguo (de nuestro profesor de repaso)
dimos cuenta de que la llamaban... ¡cóncava hacia arriba y cóncava
hacia abajo!. Seguimos recapitulando información de más libros, y,
para nuestra no sorpresa, comprobamos que cada libro lo denominaba
como le salía de ahí. Tal fue nuestro "enfado" que acabamos por
- -
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porque... cóncava nos dice que es una función en la que "cavas", y así
nos lo enseñaron la primera vez que nos dieron a conocer concavidad y
convexidad de las funciones.
¡Quizás sea una tontería y no responda nadie! Pero para nosotros fue
una "rayada" impresionante durante casi una semana, ¡hasta casi hubo
una pelea por imponer la opinión entre dos personas!
Bueno, cambiando de tema, es la primera vez que escribo en este foro,
y creo que voy a venir a menudo por aquí. Por los posts que he leído,
la gente parece ser maja.
Y... por último, y ya que estoy aquí, me gustaría comentar que es mi
intención hacer Licenciatura de Matemáticas en la Universidad de
Zaragoza. Tengo 17 años, y ya he acabado Bachillerato (bueno, casi,
porque con una nota media de 7.3 no ha querido aprobarme la "señorita"
de dibujo...), y como ya no puedo estudiar Ingenieria Informática
(porque en septiembre están cubiertas todas las plazas) sigo mi tabla
de prioridades hasta llegar a las Matemáticas, una ciencia que me
apasiona. Sin más rodeos, me gustaría conocer vuestras opiniones
acerca de esta preciosa carrera: cuánto estudiáis diariamente, la
progresión de la dificultad entre curso y curso, cómo son los futuros
matemáticos (los típicos empollones de gafas y "cortaos"). Yo
realmente me siento con ganas y capacidad para estudiar cualquier
carrera científica, pero tengo mis dudas de si realmente voy a ser
capaz de acabarla, y sobre todo en cuanto tiempo... ¿Sabéis más o
menos cual es la media de acabar una carrera? Lo chungo es que me
gustaría estudiar también Ingenieria Informática; y en el caso de que
hiciera las 2, y repitiendo 2 o 3 cursos por cada ingenieria, acabaría
de estudiar casi a los 40 años...
En definitiva, soy un joven con ganas de comerme el mundo, que a la
vez está perdido en este mar que llaman "el ser adulto", y me gustaría
mucho que me ayudara o ayudaran, ya que vosotros sí sabéis realmente
como es este mundo.
Muchas gracias por su atención y, ¡espero respuesta/s!
Jordi

David Martín Gálvez

2003-07-26 08:15:43 UTC

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La convexidad es un concepto que aparece frecuentemente en el Análisis.

Se dice que un subconjunto A de un espacio vectorial (real o complejo)
es CONVEXO si para cada par de puntos x1, x2 de A, el segmento que une a
los puntos está también dentro de A:

(1-t)*x1+t*x2 pertenece a A, para todo t del intervalo [0, 1]

Los espacios vectoriales de dimensión finita son muy aburridos para el
Análisis. Todos son "esencialmente iguales" a R^n o a C^n. Los espacios
interesantes son los que tienen "dimensión infinita" y una "topología"
"compatible" con la estructura de espacio vectorial.

La "topología" es una colección distinguida de subconjuntos llamados
"abiertos" que permiten definir las ideas de "límite", "continuidad" y
"complección", típicas en el Análisis. Una topología será "compatible"
con la estructura de espacio vectorial cuando las operaciones "suma" y
"producto por un escalar": (x1, x2)-->x1+x2 (a, x)-->a*x sean
aplicaciones contínuas.

Pues bien, resulta que las "topologías compatibles" y los "conjuntos
convexos" están íntimamente relacionados e incluso han dado lugar al
estudio de toda una "fructífera" teoría: la de los "Espacios Localmente
Convexos"

El Análisis Real estudia las funciones reales cuyo domínio es un
intervalo de R (los únicos conjuntos convexos de R!). La gráfica de una
funcion es la curva y=f(x) del "plano real" R^2, y sirve de "frontera"
entre los conjuntos

A="conjunto de todos los (x, y) tales que f(x)<=y"
B="conjunto de todos los (x, y) tales que f(x)>=y"

La función f(x) se dice que es CONVEXA si el conjunto A es un conjunto
CONVEXO de R^2. Esto será equivalente, por tanto, a decir que para cada
par de puntos x1, x2 del domínio (un intervalo de R) se cumple que:

f((1-t)*x1+t*x2)<=(1-t)*f(x1)+t*f(x2) para todo t del intervalo [0,1]

Es decir, el valor de la función está POR DEBAJO del valor
correspondiente a la recta del plano que une los puntos de la gráfica
(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)).

La función se dice que es CÓNCAVA si el conjunto B es un conjunto
CONVEXO de R^2, es decir, para cada par de puntos de su domínio x1, x2,
el valor de la función está POR ENCIMA del valor correspondiente a la
recta del plano que une los puntos de la gráfica (x1, f(x1)) y
(x2, f(x2))

Una función f(x) será cóncava si y sólo si su opuesta -f(x) es convexa y
viceversa.

Por supuesto, la elección del conjunto A en lugar de B para definir una
función convexa es algo ARBITRARIO. También lo és la elección de la
palabra "convexa" en lugar de "cóncava" en la definición de conjuntos
"convexos". Sería perfectamente razonable encontrarse con un libro que
tratase de los "Espacios Localmente Cóncavos". Todo es cuestión de convenio.

Pero en este caso, todos los libros sobre Análisis que conozco, en
inglés o en castellano, desde el "Espacios vectoriales topológicos" de
H.H Schaefer, hasta el "Orlicz Spaces and Interpolation" de Maligranda,
pasando por el "Análisis Real y Complejo" de Walter Rudin, todos, todos,
usan ÉSTE convenio que te he explicado.

Los únicos libros con los que me he encontrado que usan el convenio
contrario son mis antiguos libros de texto del Bachillerato!!.

Las funciones convexas son muy interesantes y aparecen involucrando a
muchas desigualdades dentro del Análisis Funcional. Un bonito ejercício
de primer curso de Análisis sería demostrar que si f(x) es una función
convexa sobre un intervalo abierto, entonces:

a) forzosamente f(x) ha de ser contínua

b) forzosamente f(x) tiene que tener derivadas laterales en todo punto

c) forzosamente las derivadas laterales de f(x) son funciones crecientes

Claro que si partimos de una función f(x) que ya sabemos que es
derivable sobre un intervalo abierto, el ejercício anterior no sirve
para mucho. En este caso, la condición de convexidad es equivalente a
que la función derivada f'(x) sea creciente.

Otro ejercício mucho más corto que el anterior, sería partir de una
función f(x) contínua sobre un intervalo abierto y demostrar que la
condición de convexidad equivale simplemente a que:

f(1/2*x1+1/2*x2)<=1/2*f(x1)+1/2*f(x2) para todo x1, x2 del domínio

Respecto a tu última cuestión, no tengo ni idea de cuál es la media de
tiempo que la gente emplea en acabar la Licenciatura de Matemáticas.
Supongo que dependerá de la Facultad en donde estudies. Cuando yo hice
la carrera la Licenciatura duraba 5 años! y me encontré con gente de
todo tipo. Había gente super-juerguista y gente super-formal. Pero tanto
unos como otros, al final, je, je, casi todos acababamos suspendiendo.
El índice de suspensos era terrible durante los primeros años....

Jellby

2003-07-26 12:01:14 UTC

Permalink

Post by JoRDi
Bien el objeto de mi tema es que, ¿que conocéis vosotros por
concavidad y convexidad? El caso es que, mi profesora nos explicó que
-
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- -
y, de toda la vida en física, la concavidad nos han explicado que es a
la inversa (ya me entendáis, no me hagáis dibujarla jeje).

El sentido común (y la etimilogía, si no me equivoco), dice que una casa
cóncava tiene forma de cuenco (el interior del cuenco, se entiende). El
problema con las funciones es que són cóncavas o convexas (en este sentido
"tradicional") según desde donde las mires.

A mí, a ti, y probablemente a mucha más gente, nos resulta más intuitivo
pensar que el interior de la función está hacia abajo, de manera que lo que
has dibujado sería una figura convexa, pero igualmente se puede mirar
"desde abajo", con lo que la figura se vuelve cóncava. Por convención (que
no sé hasta dónde llega, pero a mí también me lo enseñaron así) se dice que
una función con esa representación es cóncava. La misma convención que dice
que el eje positivo va hacia arriba y el negativo hacia abajo. Yo superé el
"shock" asumiendo que es al revés de lo que parece, y ya está :)

Imagina que en lugar de pintarla como lo has hecho, la pintas de esta
manera:

*
*
*
*
*
*

¿Esta figura es cóncava o convexa? ¿Dónde está el interior? ¿Desde dónde la
miras? Pues eso, depende.

--
Ignacio __ Fernández Galván
/ /\
Linux user / / \
#289967 / / /\ \ PGP Pub Key
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/ /_/__\ \ \
/________\ \ \
\___________\/

Xavi

2003-07-27 11:35:07 UTC

Permalink

***@hotmail.com (JoRDi) wrote in message news:<***@posting.google.com>...

Hola Jordi,

Como ya ha explicado David, la definicion de concavo y convexo que se
usa en todo el mundo en los libros de Matematicas es la que te explico
la profesora de matematicas. Es cierto que en muchos libros de
Baxillerato y en algunos de fisica se usa "la otra"....pero esto es
problema de ellos, no nuestro :). Digamos que cierta gente aun no ha
querido pasarse a la convencion general y quieren mantener la suya....
(como algunos fisicos aun usan las matematicas del siglo XIX en lugar
de las mucho mas claras que se usan actualmente).

Sobre los matematicos (estudiantes o no), los hay de todo tipo, aunque
ciertamente acostumbra a ser gente que le gusta "pensar", los
problemas interesantes, etc etc... y no solo salir de marcha a
emborrachar-se (aunque se puede hacer tambien!).

Sobre lo que uno tiene que estudiar: mucho :). Pero, en mi caso, yo lo
hacia con ganas por que me gustaba mucho. Ademas hay una parte
importante que es saber resolver problemas, y hay algunos la mar de
divertidos (para quien le gustan las matematicas, claro :)).

Y en cuanto a saber si vas a ser capaz de acabarla, esto nunca se
sabe. En mi caso todo el mundo me decia que no lo haria pero al final
la acabe sin problemas y ahora soy profesor en la universidad.

Xavi.