Conjunto frontera y adherencia.

[C***@gmail.com]

Muchas gracias Fernando Revilla por tu respuesta.

Veamos si me he enterado de algo. Perdonadme si digo burradas, pero
estoy aprendiendo Topología desde cero prácticamente. Gracias.

Sea X el conjunto de los números enteros positivos Z = { n en Z | n

0 } = { 1, 2, 3, .....}, y sea T la topología en X cuyos elementos

son: el conjunto vacío y todos los conjuntos de la forma

An = { x en X | x >= n } = { n, n + 1, n + 2, .......}, para todo n en
X.

Determinar el interior, la adherencia y la frontera, en el espacio
topológico (X,T), del conjunto:

M = { x en X | x es par } = { 2n | n en X } = { 2, 4, 6,......}

Una base B de la topología T, es la familia formada por los conjuntos
Ak = { x en X | x >= k }

Interior de M
------------------

Siempre, Int(M) C M, por lo que buscamos dentro de M los puntos del
conjunto interior. Además, el interior es un abierto, y el mayor
abierto contenido en M, por lo que buscamos un abierto dentro de M.
Pero vemos que todo abierto del espacio topológico (X,T) contiene
números impares, por lo que M no contiene ningún abierto y por lo
tanto:

Int(M) = conjunto vacío.

Adherencia de M.
-------------------------
Siempre, M C Adh(M), por lo que buscamos puntos adherentes fuera del
conjunto M. Sea a que no está en M. Entonces a es impar. Para
verificar que b pertenece a la adherencia de M, tenemos que ver que
para todo elemento de la base B tal que a esté en B, B (interseccion)
M es no vacío. Es evidente que se cumple la condición, por lo que:

Adh(M) = X. (los impares y M, ya que M C Adh(M) ).

Frontera de M
---------------------
Siempre, Fron(M) = X, ya que todo entorno de un punto b de X, tiene
puntos del interior y del exterior de X.

Gracias y saludos.

[fernando revilla]

Post by C***@gmail.com
Muchas gracias Fernando Revilla por tu respuesta.
Veamos si me he enterado de algo. Perdonadme si digo burradas, pero
estoy aprendiendo Topología desde cero prácticamente. Gracias.
Sea X el conjunto de los números enteros positivos Z = { n en Z | n>0 } = { 1, 2, 3, .....}, y sea T la topología en X cuyos elementos
son: el conjunto vacío y todos los conjuntos de la forma
An = { x en X | x >= n } = { n, n + 1, n + 2, .......}, para todo n en
X.
Determinar el interior, la adherencia y la frontera, en el espacio
M = { x en X | x es par } = { 2n | n en X } = { 2, 4, 6,......}
Una base B de la topología T, es la familia formada por los conjuntos
Ak = { x en X | x >= k }
Interior de M
------------------
Siempre, Int(M) C M, por lo que buscamos dentro de M los puntos del
conjunto interior. Además, el interior es un abierto, y el mayor
abierto contenido en M, por lo que buscamos un abierto dentro de M.
Pero vemos que todo abierto del espacio topológico (X,T) contiene
números impares, por lo que M no contiene ningún abierto y por lo
Int(M) = conjunto vacío.
Adherencia de M.
-------------------------
Siempre, M C Adh(M), por lo que buscamos puntos adherentes fuera del
conjunto M. Sea a que no está en M. Entonces a es impar. Para
verificar que b pertenece a la adherencia de M, tenemos que ver que
para todo elemento de la base B tal que a esté en B, B (interseccion)
Adh(M) = X. (los impares y M, ya que M C Adh(M) ).
Frontera de M
---------------------
Siempre, Fron(M) = X, ya que todo entorno de un punto b de X, tiene
puntos del interior y del exterior de X.
Gracias y saludos.

El interior y la adherencia estan correctamente razonados.
La frontera es efectivamente X, pero la razón es porque para
todo b de X, todo abierto que contiene a b tiene intersección
no vacia con M y con X - M.

Saludos.

Fernando.