Post by Dr. Wolfgang HintzePost by LuisEl matemático polaco Banach llevaba siempre dos cajas
de cerillas, una en cada bolsillo. Sea N el número de cerillas
en cada caja inicialmente.
Cuando necesitaba una cerilla, cogía la caja del bolsillo
derecho con probabilidad "p" y la caja del bolsillo izquierdo
con probabilidad "q" ( q = 1-p ).
Cuando descubría que una caja estaba vacía, ¿ cuál era la
la probabilidad de que el número de cerillas que quedaba
en la otra fuese "k" ?
Saludos,
Empezamos con un ejemplo para N=10 notando la probalidad w para cada
distribución de la cerillas en la bolsillo derecho y izquierdo {ni,nd}
Paso 1 p {N,N-1}
q {N-1,N}
Paso 2 p*p {N,N-2} p^2
p*q {N-1,N-1} 2 p q
q*p {N-1,N-1} v
q*q {N-2,N} q^2
Paso 3 p^2*p {N,N-3} p^3
p^2*q {N-1,N-2} 3 p^2q
2pq*p {N-1,N-2} v
2pq*q {N-2,N-1} 3 pq^2
q^2*p {N-2,N-1} v
q^2*q {N-3,N} q^3
etc.
Paso n w = C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) (k=0..n) para la distribución
{N-n+k,N-k}
Creo que la solución para la bosilla izquierda es (debe apararecer p^N)
fi(k) = A p^N C(N+k,N) q^k
y para la bolsilla derecha (p<->q)
fd(k) = B q^N C(N+k,N) p^k
con unos factores de nomalización A y B (que sólo puede expresar con
funciones Gamma y hipergeométricas). Me parace que he hecho un error ...
No me cuadra mucho esta solución.
Una de las cajas se descubre vacía en la extracción N+1. Si en la otra caja
tienen que quedar "k" cerillas, en total se han efectudado 2N-k extracciones
justo antes del descubrimiento de que una de las cajas está vacía ( N
extracciones en una caja y N-k extracciones en la otra ).
El número de maneras distintas de extraer las cajas de los bolsillos será
C(2N-k, N ) así que, la probabilidad de que queden "k" cerillas en el
bolsillo
izquierdo ( y la caja vacía en el derecho ) será C(2N-k,N)*p^(N+1)*q^(N-k)
Y la probabilidad de que queden "k" cerillas en el bolsillo derecho ( y la
caja vacía en el izquierdo ) será C(2N-k,N)*p^(N-k)*q^(N+1)
Luego, quedarán "k" en la una o en la otra con probabilidad
C(2N-k,N)* ( p^(N+1)*q^(N-k) + p^(N-k)*q^(N+1) )
Saludos,