Ecuaciones de Cauchy-Riemann

[conchi]

Hola.
Para saber si una funcion de variable compleja es derivable,
descomponemos la funcion

f(z) = u(x,y) + v(x,y)i

Si las derivadas parciales de u y v respecto a x e y existen y son
continuas en un punto zo, y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-
Riemann, entonces f(z) es analitica en zo.

Si identificamos el plano complejo C con R^2 y tenemos una funcion
g:R^2------>R^2

el libro dice que el concepto de derivabilidad compleja es mas
exigente que el de diferenciabilidad real. En el caso de
diferenciabilidad real, ser diferenciable significa sin mas que lo
sean sus dos componentes u y v.

Por que?. Es decir, porque al trabajar con funciones de R^2 en R^2 no
se exige que se cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann y cuando
trabajamos en el plano complejo si se exige?.

Espero que se entienda la pregunta, gracias por las respuestas y besos.

[Antonio González]

Post by conchi
Hola.
Para saber si una funcion de variable compleja es derivable,
descomponemos la funcion
f(z) = u(x,y) + v(x,y)i
Si las derivadas parciales de u y v respecto a x e y existen y son
continuas en un punto zo, y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-
Riemann, entonces f(z) es analitica en zo.
Si identificamos el plano complejo C con R^2 y tenemos una funcion
g:R^2------>R^2
el libro dice que el concepto de derivabilidad compleja es mas
exigente que el de diferenciabilidad real. En el caso de
diferenciabilidad real, ser diferenciable significa sin mas que lo
sean sus dos componentes u y v.
Por que?. Es decir, porque al trabajar con funciones de R^2 en R^2 no
se exige que se cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann y cuando
trabajamos en el plano complejo si se exige?.

Por por eso, porque C no es lo mismo que R^2. El producto de números
complejos añade muchas propiedades que no están en R^2.

¿Cómo extenderías a R^2 la definición habitual de derivada

f'(z) = lim_(h->0) (f(z+h) - f(z))/h

donde h es un número complejo arbitrario en dirección? Recuerda que en
R^2 no se pueden dividir vectores.

Esta restricción enriquece notablemente el cálculo en variable compleja.
Por ejemplo, hace que si una función es derivable una vez, lo es
infinitas veces y es analítica, cosa que por supuesto no ocurre en R^2.
O que si f(z) es derivable en todo C no es acotada, cosa que tampoco
ocurre en R^2.