Clásico de triángulos!

[Javier Esquinas]

El siguiente resultado aparece un montón de veces como problema o para
rematar alguna cuestión.Es más,lo mismo se ha propuesto ya por aquí.En
cualquier caso:

Sea T un triángulo de ángulos A,B y C.
Demostrar que T es rectángulo si y solo si (senA)^2 + (senB)^2 +
(senC)^2 = 2.

(Una de las dos partes de la demostración es muy sencilla).

Saludos.

[j***@gmail.com]

Post by Javier Esquinas
El siguiente resultado aparece un montón de veces como problema o para
rematar alguna cuestión.Es más,lo mismo se ha propuesto ya por aquí.En
Sea T un triángulo de ángulos A,B y C.
Demostrar que T es rectángulo si y solo si (senA)^2 + (senB)^2 +
(senC)^2 = 2.
(Una de las dos partes de la demostración es muy sencilla).
Saludos.

Si T es rectángulo, por ejemplo en A, entonces senA = 1
y senB = sen(90-C) = cosC, de donde
(senA)^2 + (senB)^2 + (senC)^2
= 1 + (cosC)^2 + (senC)^2 = 1 + 1 = 2.

Recíproco: como C = 180 - (A+B) se tiene senC = sen(A+B) y
(senC)^2 = (senAcosB + senBcosA)^2
= (senA)^2(cosB)^2 + (senB)^2(cosA)^2 + 2senAcosBsenBcosA
= (1 - (cosA)^2)(cosB)^2 + (1 - (cosB)^2)(cosA)^2 + 2senAcosBsenBcosA
= (cosB)^2 + (cosA)^2 - 2(cosAcosB)^2 + 2senAcosBsenBcosA,

por lo tanto

(senA)^2 + (senB)^2 + (senC)^2
= 2 - 2(cosAcosB)^2 + 2senAcosBsenBcosA
= 2 - 2(cosAcosB)(cosAcosB - senAsenB)
= 2 - 2cosAcosBcos(A+B)

Si (senA)^2 + (senB)^2 + (senC)^2 = 2 entonces
2 = 2 - 2cosAcosBcos(A+B),
es decir cosAcosBcos(A-B)=0, para lo cual debe ser
A=90 ó B=90 ó A+B=90 (y C=180-A-B=90),
es decir que T es rectángulo.

Saludos,

jhn

[Antonio González]

Post by Javier Esquinas
El siguiente resultado aparece un montón de veces como problema o para
rematar alguna cuestión.Es más,lo mismo se ha propuesto ya por aquí.En
Sea T un triángulo de ángulos A,B y C.
Demostrar que T es rectángulo si y solo si (senA)^2 + (senB)^2 +
(senC)^2 = 2.
(Una de las dos partes de la demostración es muy sencilla).

La parte no trivial sería partir de

sen^2(A) + sen^2(B) + sen^2(C) = 2

Aplicando el teorema del seno esto equivale a

a^2 + b^2 + c^2 = 8R^2

siendo R el circunradio.

http://mathworld.wolfram.com/Circumradius.html

Pero éste verifica

R = rq((a^2+b^2+c^2)/(8(1+cos(A)cos(B)cos(C))

así que queda

1 = 1/(1 + cos(A)cos(B)cos(C))

o, equivalentemente

cos(A)cos(B)cos(C) = 0

con lo que alguno de los tres cosenos debe anularse y el triángulo ser
rectángulo

[Eduardo]

Post by Javier Esquinas
El siguiente resultado aparece un montón de veces como problema o para
rematar alguna cuestión.Es más,lo mismo se ha propuesto ya por aquí.En
Sea T un triángulo de ángulos A,B y C.
Demostrar que T es rectángulo si y solo si (senA)^2 + (senB)^2 +
(senC)^2 = 2.
(Una de las dos partes de la demostración es muy sencilla).
Saludos.

Escribo los angulos en funcion de sus lados

cosA = (b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosB = (a^2+c^2-b^2)/(2ac)
cosC = (a^2+b^2-c^2)/(2ab)


Luego

sinA^2+sinB^2+sinC^2 = 2
==> cosA^2+cosB^2+cosC^2 - 1 = 0

Reemplazando y pidiendole al Derive que me lo simplifique

(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)/(abc)^2 = 0

Donde se ve que la unica manera de anular eso es con un triangulo
rectangulo.

Saludos.
Eduardo.

[Javier Esquinas]

Post by Eduardo

Post by Javier Esquinas
El siguiente resultado aparece un montón de veces como problema o para
rematar alguna cuestión.Es más,lo mismo se ha propuesto ya por aquí.En
Sea T un triángulo de ángulos A,B y C.
Demostrar que T es rectángulo si y solo si (senA)^2 + (senB)^2 +
(senC)^2 = 2.
(Una de las dos partes de la demostración es muy sencilla).
Saludos.

Escribo los angulos en funcion de sus lados
cosA = (b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosB = (a^2+c^2-b^2)/(2ac)
cosC = (a^2+b^2-c^2)/(2ab)
Luego
sinA^2+sinB^2+sinC^2 = 2
==> cosA^2+cosB^2+cosC^2 - 1 = 0
Reemplazando y pidiendole al Derive que me lo simplifique
(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)/(abc)^2 = 0
Donde se ve que la unica manera de anular eso es con un triangulo
rectangulo.
Saludos.
Eduardo.

Muy buena esta demostración.Yo lo hice de otra forma (más parecida a
la de JhNieto) aunque siempre pensé que usando el teorema del coseno y
poniendo la expresión en función de los lados del triángulo debía de
salir pero es que los cálculos se me antojaban un poco folloneros.


Saludos.