On 23 dic, 13:50, "Ignacio Larrosa Cañestro"
Post by Ignacio Larrosa CañestroSea z =e ^(2*pi*i/7) una raiz septima de la unidad.Hallar: 1+z
+z^4+z^9+z^16+z^25+z^36
Sea
S(n) = Sum((e ^(2*pi*i/7))^k^2, k, 0, n-1)
Entonces.
S(n) = rq(n), n = 1 (mod 4)
= 0, n = 2 (mod 4)
= rq(n)i, n = 3 (mod 4)
= rq(n)(1 + i)
Se trata de las llamadas sumas de Gauss.
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Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
Ahhhhhhhhhh,ya he caido en que me había equivocado,pero es igual ,creo
que sale una demostración bonita`por otro camino:
Quiero calcular 1 + 2(z + z^2 + z^4)
Sea S = z + z^2 + z^4
Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que z^7 = 1:
S^2 = z^2 + z^4 + z^8 + 2(z^3 + z^5 + z^6) =
= z + z^2 + z^4 + 2(1/z^4 + 1/z^2 + 1/z)
Ahora bien,veamos cuánto vale: (z + z^2 + z^4)(1/z + 1/z^2 + 1/z^4)
1 + 1/z + 1/z^3 + z + 1 + 1/z^2 + z^3 + z^2 + 1 =
1 + z^6 + z^4 + z + 1 + z^5 + z^3 + z^2 + 1 =
Teniendo en cuenta que 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = 0
Obtenemos que:
S(1/z + 1/z^2 + 1/z^4) = 2
luego 1/z + 1/z^2 + 1/z^4 = 2/S
por tanto la suma S cumple la ecuación:
S^2 = S + 4/S
S^3 - S^2 - 4 = 0
Por tanto S debe valer 2,-1/2 - rq(7)/2i,-1/2 + rq(7)/2i
Y por tanto el valor de 1 + 2S será : 5, -i·rq(7), ó i·rq(7)
Bueno,y ahora falta dilucidar cuál es,eso mañana ya,pero no me
negareis que queda bonito :-)
Saludos.