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Series de senos
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Luis
2012-12-03 05:49:24 UTC
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Estudiar, para cada una de las siguientes series,
si divergen, convergen condicionalmente o convergen
absolutamente :

a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )

b) Sum( sen(n), n=1^inf )

c) Sum( sen(n) / n , n=1^inf )

d) Sum( sen(n) / n^2 , n=1^inf )

Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
2012-12-03 07:35:21 UTC
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Estudiar, para cada una de las siguientes series,
si divergen, convergen condicionalmente o convergen
Certezas y presunciones a vuela teclado ...
Post by Luis
a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )
Diverge por comparación (cociente) con la armónica 1/n.
Post by Luis
b) Sum( sen(n), n=1^inf )
'Creo' que es oscilante. Aunque debería saberlo, porque ya se debió discutir
aqui varias veces.
Post by Luis
c) Sum( sen(n) / n , n=1^inf )
'Creo' que condicionalmente convergente, aunque no se puede aplicar sin más
el criterio de Leibnitz.
Post by Luis
d) Sum( sen(n) / n^2 , n=1^inf )
Absolutamente convergente, pues la serie de valores absolutos esta mayorada
por Sum(1/n^2) = pi^2/6.
--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
***@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
Luis
2012-12-03 15:01:29 UTC
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Estudiar, para cada una de las siguientes series,
si divergen, convergen condicionalmente o convergen
Certezas y presunciones a vuela teclado ...
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a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )
Diverge por comparación (cociente) con la armónica 1/n.
Sí, lim( sen(1/n) / 1/n ) = 1 > 0 y finito, luego ambas
series tienen el mismo carácter. O sea, la del seno diverge.
Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Post by Luis
b) Sum( sen(n), n=1^inf )
'Creo' que es oscilante. Aunque debería saberlo, porque ya se debió
discutir aqui varias veces.
Sí, no existe lim(sen(n)) cuando n tiende a infinito, luego la serie es
divergente.
Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Post by Luis
c) Sum( sen(n) / n , n=1^inf )
'Creo' que condicionalmente convergente, aunque no se puede aplicar sin
más el criterio de Leibnitz.
Sí, sen(nPi/2) tiene sus sumas parciales acotadas ( vamos obteniendo
1,0,-1,1,0,-1,... ) y es sen(n) <= |sen(nPi/2)| , luego también sen(n)
tiene sus sumas parciales acotadas. Como 1/n es decreciente con límite
0,
Sum( sen(n) / n , n=1^inf ) converge por el criterio de Dirichlet.

Sin embargo, Sum( |sen(n)| / n ) diverge. Poniendo

|sen(n)| / n = ( |sen(n)| - |sen(n-1)| ) / 2n + (|sen(n)| + |sen(n-1)|)
/ 2n =

= a(n) + b(n), puede probarse ( sumación por partes, Abel ) que a(n)

converge pero b(n) no.
Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Post by Luis
d) Sum( sen(n) / n^2 , n=1^inf )
Absolutamente convergente, pues la serie de valores absolutos esta
mayorada por Sum(1/n^2) = pi^2/6.
Así es.

Saludos,
Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
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2012-12-03 15:33:58 UTC
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Estudiar, para cada una de las siguientes series,
si divergen, convergen condicionalmente o convergen
Certezas y presunciones a vuela teclado ...
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a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )
Diverge por comparación (cociente) con la armónica 1/n.
Sí, lim( sen(1/n) / 1/n ) = 1 > 0 y finito, luego ambas
series tienen el mismo carácter. O sea, la del seno diverge.
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b) Sum( sen(n), n=1^inf )
'Creo' que es oscilante. Aunque debería saberlo, porque ya se debió
discutir aqui varias veces.
Sí, no existe lim(sen(n)) cuando n tiende a infinito, luego la serie es
divergente.
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c) Sum( sen(n) / n , n=1^inf )
'Creo' que condicionalmente convergente, aunque no se puede aplicar sin
más el criterio de Leibnitz.
Sí, sen(nPi/2) tiene sus sumas parciales acotadas ( vamos obteniendo
1,0,-1,1,0,-1,... ) y es sen(n) <= |sen(nPi/2)|
*** Aquí es Sum(k=1^n sen(k)) <= Sum(k=1^(n+1) |sen(nPi/2)| ) <= M,

para cada n ****


, luego también sen(n)
Post by Luis
tiene sus sumas parciales acotadas. Como 1/n es decreciente con límite
0,
Sum( sen(n) / n , n=1^inf ) converge por el criterio de Dirichlet.
Sin embargo, Sum( |sen(n)| / n ) diverge. Poniendo
|sen(n)| / n = ( |sen(n)| - |sen(n-1)| ) / 2n + (|sen(n)| + |sen(n-1)|)
/ 2n =
= a(n) + b(n), puede probarse ( sumación por partes, Abel ) que a(n)
converge pero b(n) no.
Post by Ignacio Larrosa Cañestro
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d) Sum( sen(n) / n^2 , n=1^inf )
Absolutamente convergente, pues la serie de valores absolutos esta
mayorada por Sum(1/n^2) = pi^2/6.
Así es.
Saludos,
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Ignacio Larrosa Cañestro
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2012-12-03 17:00:49 UTC
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si divergen, convergen condicionalmente o convergen
Certezas y presunciones a vuela teclado ...
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a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )
Diverge por comparación (cociente) con la armónica 1/n.
Sí, lim( sen(1/n) / 1/n ) = 1 > 0 y finito, luego ambas
series tienen el mismo carácter. O sea, la del seno diverge.
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b) Sum( sen(n), n=1^inf )
'Creo' que es oscilante. Aunque debería saberlo, porque ya se debió
discutir aqui varias veces.
Sí, no existe lim(sen(n)) cuando n tiende a infinito, luego la serie es
divergente.
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c) Sum( sen(n) / n , n=1^inf )
'Creo' que condicionalmente convergente, aunque no se puede aplicar sin
más el criterio de Leibnitz.
Sí, sen(nPi/2) tiene sus sumas parciales acotadas ( vamos obteniendo
1,0,-1,1,0,-1,... ) y es sen(n) <= |sen(nPi/2)|
*** Aquí es Sum(k=1^n sen(k)) <= Sum(k=1^(n+1) |sen(nPi/2)| ) <= M,
para cada n ****
A ver, que lo estoy pasando a limpio despacito y lo correcto es :

Sum(k=1^n sen(k)) <= | Sum(k=1^(n+1) sen(k Pi/2) ) | <= 1

Así sí.

Saludos,
Post by Luis
, luego también sen(n)
Post by Luis
tiene sus sumas parciales acotadas. Como 1/n es decreciente con límite
0,
Sum( sen(n) / n , n=1^inf ) converge por el criterio de Dirichlet.
Sin embargo, Sum( |sen(n)| / n ) diverge. Poniendo
|sen(n)| / n = ( |sen(n)| - |sen(n-1)| ) / 2n + (|sen(n)| +
|sen(n-1)|) / 2n =
= a(n) + b(n), puede probarse ( sumación por partes, Abel ) que a(n)
converge pero b(n) no.
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d) Sum( sen(n) / n^2 , n=1^inf )
Absolutamente convergente, pues la serie de valores absolutos esta
mayorada por Sum(1/n^2) = pi^2/6.
Así es.
Saludos,
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Ignacio Larrosa Cañestro
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Ignacio Larrosa Cañestro
2012-12-03 17:33:48 UTC
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Estudiar, para cada una de las siguientes series,
si divergen, convergen condicionalmente o convergen
Certezas y presunciones a vuela teclado ...
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a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )
Diverge por comparación (cociente) con la armónica 1/n.
Sí, lim( sen(1/n) / 1/n ) = 1 > 0 y finito, luego ambas
series tienen el mismo carácter. O sea, la del seno diverge.
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b) Sum( sen(n), n=1^inf )
'Creo' que es oscilante. Aunque debería saberlo, porque ya se debió
discutir aqui varias veces.
Sí, no existe lim(sen(n)) cuando n tiende a infinito, luego la serie es
divergente.
Pero no es divergente, es oscilante. Las sucesiones pueden converger
(tienen límite finito), diverger (tienen límite infinito) u oscilar
(carecen de límite finito o infinito).

Este último es el caso de (-1)^n, y de n*(-1)^n. Yo 'creo' que esta es
oscilante y además acotada. Pero no recuerdo los detalles.
--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
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2012-12-03 18:29:25 UTC
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si divergen, convergen condicionalmente o convergen
Certezas y presunciones a vuela teclado ...
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a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )
Diverge por comparación (cociente) con la armónica 1/n.
Sí, lim( sen(1/n) / 1/n ) = 1 > 0 y finito, luego ambas
series tienen el mismo carácter. O sea, la del seno diverge.
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b) Sum( sen(n), n=1^inf )
'Creo' que es oscilante. Aunque debería saberlo, porque ya se debió
discutir aqui varias veces.
Sí, no existe lim(sen(n)) cuando n tiende a infinito, luego la
serie es
Post by Luis
divergente.
Pero no es divergente, es oscilante. Las sucesiones pueden converger
(tienen límite finito), diverger (tienen límite infinito) u oscilar
(carecen de límite finito o infinito).
Este último es el caso de (-1)^n, y de n*(-1)^n. Yo 'creo' que esta es
oscilante y además acotada. Pero no recuerdo los detalles.
No sabía lo de las series oscilantes. Pero debí suponerlo, pues las
sucesiones sí pueden ser oscilantes y una serie es una sucesión de
sumas parciales. Por cierto, es divergir, no "diverger". Cosas del
castellano académico. :-)

Saludos,
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
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Ignacio Larrosa Cañestro
2012-12-03 18:59:23 UTC
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si divergen, convergen condicionalmente o convergen
Certezas y presunciones a vuela teclado ...
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a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )
Diverge por comparación (cociente) con la armónica 1/n.
Sí, lim( sen(1/n) / 1/n ) = 1 > 0 y finito, luego ambas
series tienen el mismo carácter. O sea, la del seno diverge.
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b) Sum( sen(n), n=1^inf )
'Creo' que es oscilante. Aunque debería saberlo, porque ya se debió
discutir aqui varias veces.
Sí, no existe lim(sen(n)) cuando n tiende a infinito, luego la
serie es
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divergente.
Pero no es divergente, es oscilante. Las sucesiones pueden converger
(tienen límite finito), diverger (tienen límite infinito) u oscilar
(carecen de límite finito o infinito).
Este último es el caso de (-1)^n, y de n*(-1)^n. Yo 'creo' que esta es
oscilante y además acotada. Pero no recuerdo los detalles.
No sabía lo de las series oscilantes. Pero debí suponerlo, pues las
sucesiones sí pueden ser oscilantes y una serie es una sucesión de
sumas parciales. Por cierto, es divergir, no "diverger". Cosas del
castellano académico. :-)
Me deje llevar por el deseo de una natural convergencia con converger,
pero no, divergir tercamente diverge ...
--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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2012-12-03 19:21:01 UTC
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Estudiar, para cada una de las siguientes series,
si divergen, convergen condicionalmente o convergen
Certezas y presunciones a vuela teclado ...
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a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )
Diverge por comparación (cociente) con la armónica 1/n.
Sí, lim( sen(1/n) / 1/n ) = 1 > 0 y finito, luego ambas
series tienen el mismo carácter. O sea, la del seno diverge.
Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Post by Luis
b) Sum( sen(n), n=1^inf )
'Creo' que es oscilante. Aunque debería saberlo, porque ya se debió
discutir aqui varias veces.
Sí, no existe lim(sen(n)) cuando n tiende a infinito, luego la
serie es
Post by Luis
divergente.
Pero no es divergente, es oscilante. Las sucesiones pueden converger
(tienen límite finito), diverger (tienen límite infinito) u oscilar
(carecen de límite finito o infinito).
Este último es el caso de (-1)^n, y de n*(-1)^n. Yo 'creo' que esta es
oscilante y además acotada. Pero no recuerdo los detalles.
No sabía lo de las series oscilantes. Pero debí suponerlo, pues las
sucesiones sí pueden ser oscilantes y una serie es una sucesión de
sumas parciales. Por cierto, es divergir, no "diverger". Cosas del
castellano académico. :-)
Me deje llevar por el deseo de una natural convergencia con converger,
pero no, divergir tercamente diverge ...
Así es muchas veces la etimología : terca; mal que les pese a muchos
( incluidos "académicos" con sillón y letra ). Pero los Berceo,
Garcilaso,
Nebrija, Boscán, Lope, Calderón, Góngora, Quevedo, Tirso y muchos
otros ( también los pastores del Renacimiento, que hablaban un castellano
más puro que el de los locutores de radio y televisión ) merecen un
respeto.
Ya se sabe que el uso consagra y está bien cambiar, pero cuando sea
necesario y para mejor. Y esto último, desgraciadamente, no sucede hoy.

Por supuesto, tu lapsus es nimio, en comparación con los dislates
continuos
que llegan a mis oídos.

Saludos,
Post by Ignacio Larrosa Cañestro
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
Dr. Wolfgang Hintze
2012-12-04 11:36:14 UTC
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Estudiar, para cada una de las siguientes series,
si divergen, convergen condicionalmente o convergen
a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )
b) Sum( sen(n), n=1^inf )
c) Sum( sen(n) / n , n=1^inf )
d) Sum( sen(n) / n^2 , n=1^inf )
Saludos,
´
Casi todo ya habéis dicho.

Sólo unos comentarios

a) Sum( 1/n - sen(1/n) ) = Sum( 1/n - (1/n - 1/3! /n^3 + 1/5!/n^5
+- ...) = 1/3! Zeta(3) - 1/5! Zeta(5) +- ... ~= 0.191899

b) la suma partcial podemos calcular exactamente:

Sum( sen(n), n=1^k ) = (1/2)*(Cot[1/2] - Cos[k]*Cot[1/2] + Sin[k])

que (para k real) tiene periodo 2 pi y oscila entre -0.127671 y 2.
El primero mínimo es en k = 5.78319

c) Sum[1/n^2 - Sin[1/n]/n, {n, 1, Infinity}] = 1/3! Zeta(4) -+ ... ~=
0.172106

Y qué es

e) sum( sen(1/n^2) )?
f) sum( sen(1/n)^2 )?

Saludos,
Wolfgang
Luis
2012-12-04 15:29:48 UTC
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Estudiar, para cada una de las siguientes series,
si divergen, convergen condicionalmente o convergen
a) Sum( sen(1/n), n=1^inf )
b) Sum( sen(n), n=1^inf )
c) Sum( sen(n) / n , n=1^inf )
d) Sum( sen(n) / n^2 , n=1^inf )
Saludos,
Ž
Casi todo ya habéis dicho.

Sólo unos comentarios

a) Sum( 1/n - sen(1/n) ) = Sum( 1/n - (1/n - 1/3! /n^3 + 1/5!/n^5
+- ...) = 1/3! Zeta(3) - 1/5! Zeta(5) +- ... ~= 0.191899

b) la suma partcial podemos calcular exactamente:

Sum( sen(n), n=1^k ) = (1/2)*(Cot[1/2] - Cos[k]*Cot[1/2] + Sin[k])

que (para k real) tiene periodo 2 pi y oscila entre -0.127671 y 2.
El primero mínimo es en k = 5.78319

c) Sum[1/n^2 - Sin[1/n]/n, {n, 1, Infinity}] = 1/3! Zeta(4) -+ ... ~=
0.172106

Y qué es

e) sum( sen(1/n^2) )?
f) sum( sen(1/n)^2 )?

Saludos,
Wolfgang

Muy bonito, porque nos muestra, por ejemplo, que la diferencia
de dos series divergentes puede ser convergente (a).

(e) y (f) son convergentes, pues ambas tienen el mismo carácter
que Sum(1/n^2 , n=1^inf ) < oo.

Saludos,

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