Discussion:
cerrados y compactos
(demasiado antiguo para responder)
cthulu
2004-01-02 16:04:47 UTC
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Tengo un pequeño lío con la topología y no recuerdo exactamente bien las
definiciones, a ver si me podéis hechar una ayudita.
A ver la definición general de conjunto cerrado es que su complementario sea
un abierto.
Existe una definición de cerrado que diga que si toda sucesión convergente
lo hace a un punto del conjunto, entonces es cerrado??? o es compacto???
Esto sólo es cierto en espacios métricos???
La definición de compacto es que para todo recubrimiento exista un
recubrimiento finito.
Todo conjunto compacto es cerrado??? y acotado???
Todo conjunto cerrado y acotado es compacto, o esto es cierto sólo en R????
Toroloar
2004-01-02 19:33:31 UTC
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Post by cthulu
Tengo un pequeño lío con la topología y no recuerdo exactamente bien las
definiciones, a ver si me podéis hechar una ayudita.
A ver la definición general de conjunto cerrado es que su complementario sea
un abierto.
Existe una definición de cerrado que diga que si toda sucesión convergente
lo hace a un punto del conjunto, entonces es cerrado???
Sí
o es compacto??? En principio sólo es cerrado
Post by cthulu
Esto sólo es cierto en espacios métricos???
No, esto vale en cualquier e. topológico.
Post by cthulu
La definición de compacto es que para todo recubrimiento exista un
recubrimiento finito.
Todo recubrimiento de abiertos.
Post by cthulu
Todo conjunto compacto es cerrado??? y acotado???
Es una equivalencia en e. métricos
Post by cthulu
Todo conjunto cerrado y acotado es compacto, o esto es cierto sólo en R????
georgesZ
2004-01-03 08:28:05 UTC
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Buenos días,
Post by Toroloar
Post by cthulu
Tengo un pequeño lío con la topología y no recuerdo exactamente
bien las definiciones, a ver si me podéis hechar una ayudita.
A ver la definición general de conjunto cerrado es que su
complementario sea un abierto.
Sí
Post by Toroloar
Post by cthulu
Existe una definición de cerrado que diga que si toda
sucesión en una parte A es
convergente hacia un punto del conjunto A, entonces A es
cerrado???
Sí
Sí, si el espacio es métrico o si es topológico y cada punto tiene una
base numerable de vecindades. Pero es falso en caso contrario!
Post by Toroloar
Post by cthulu
o es compacto???
En principio sólo es cerrado
Si es cerrado sólo!
Post by Toroloar
Post by cthulu
Esto sólo es cierto en espacios métricos???
No, esto vale en cualquier e. topológico.
No vease más arriba.
Post by Toroloar
Post by cthulu
La definición de compacto es que para todo recubrimiento exista un
recubrimiento finito.
para todo recubrimiento de abiertos.
Sí
Post by Toroloar
Post by cthulu
Todo conjunto compacto es cerrado??? y acotado???
Es una equivalencia en e. métricos
Es una equivalencia sólo en espacios vectoriales de dimensión finita!
Post by Toroloar
Post by cthulu
Todo conjunto cerrado y acotado es compacto, o esto es cierto sólo
en R????
No vease más arriba.

Amicalmente,
Georges
Manolo
2004-01-04 11:32:47 UTC
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Post by georgesZ
Buenos días,
Post by Toroloar
Post by cthulu
Tengo un pequeño lío con la topología y no recuerdo exactamente
bien las definiciones, a ver si me podéis hechar una ayudita.
A ver la definición general de conjunto cerrado es que su
complementario sea un abierto.
Sí
Post by Toroloar
Post by cthulu
Existe una definición de cerrado que diga que si toda
sucesión en una parte A es
convergente hacia un punto del conjunto A, entonces A es
cerrado???
Sí
Sí, si el espacio es métrico o si es topológico y cada punto tiene una
base numerable de vecindades. Pero es falso en caso contrario!
Post by Toroloar
Post by cthulu
o es compacto???
En principio sólo es cerrado
Si es cerrado sólo!
Es cerrado si el espacio topológico es Hausdorff (dados dos puntos
cualesquiera existen dos abiertos disjuntos que los contienen a ambos)
(se puede exigir algo menos, pero la condición de ser Hausdorff es más
habitual).
Post by georgesZ
Post by Toroloar
Post by cthulu
Esto sólo es cierto en espacios métricos???
No, esto vale en cualquier e. topológico.
No vease más arriba.
Post by Toroloar
Post by cthulu
La definición de compacto es que para todo recubrimiento exista un
recubrimiento finito.
para todo recubrimiento de abiertos.
Sí
puntualización que creo importante:

para todo recubrimiento existe un subrecubrimiento finito.

(al decir para cada recubrimiento existe un recubrimiento, se puede
entender que el segundo recubrimiento no tiene nada que ver con el
primero y en este caso todo conjunto sería compacto)

(por cierto un conjunto C en R^n (con la topología usual) si toda
sucesión de puntos de C tiene una subsucesión convergente a un punto
de C (no me acuerdo si se le puede exigir algo menos)
Post by georgesZ
Post by Toroloar
Post by cthulu
Todo conjunto compacto es cerrado??? y acotado???
Es una equivalencia en e. métricos
Es una equivalencia sólo en espacios vectoriales de dimensión finita!
por si aclara algo:
en espacios métricos se da la implicación compacto=>cerrado y acotado,
pero no al revés. Tenía pensado poner un ejemplo de métrica en R^2
para la cual el conjunto C={(x,y)|x^2+y^2<=1} es cerrado y acotado,
pero no es compacto. Si le interesa a alguien lo pongo en otro
mensaje.

pregunta: ¿tiene sentido hablar de acotado si no hay métrica?
Post by georgesZ
Post by Toroloar
Post by cthulu
Todo conjunto cerrado y acotado es compacto, o esto es cierto sólo
en R????
No vease más arriba.
Un saludo
Manolo
Manolo
2004-01-04 14:12:38 UTC
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Esto me quedó a medias
Post by Manolo
(por cierto un conjunto C en R^n (con la topología usual) si toda
sucesión de puntos de C tiene una subsucesión convergente a un punto
de C (no me acuerdo si se le puede exigir algo menos)
... entonces C es compacto).
georgesZ
2004-01-04 16:22:52 UTC
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Buenos días Manolo,
Post by Manolo
Post by georgesZ
Post by Toroloar
Post by cthulu
Existe una definición de cerrado que diga que si toda
sucesión en una parte A es
convergente hacia un punto del conjunto A, entonces A es
cerrado???
Sí
Sí, si el espacio es métrico o si es topológico y cada punto tiene una
base numerable de vecindades. Pero es falso en caso contrario!
Es cerrado si el espacio topológico es Hausdorff
(se puede exigir algo menos, pero la condición de ser Hausdorff es
más habitual).
Es cierto que se suele exigir que un espacio topológico X sea
Hausdorff para tener unicidad de los límites.

Pero si X es topológico(Hausdorff o no) y cada punto en X tiene una
base numerable de vecindades. Una parte A de X es cerrada si y
solamente si
(*) por cada sequencia en A que es convergente hacia x en X entonces x
está en A.

Prueba :
Suponemos A cerrado, X \ A es abierto. Sea x en X \ A, existe una
vecendad de x en X que no contiene ningún punto de A así que ninguna
sequencia en A es convergente hacia x . O sea (*) es cierto para A .

Ahora suponemos que (*) es cierto para A. Sea x en X\A, tiene una base
(Vn(x))_(n>=1) de vecindades y no tenemos, por todo n>=1, Vn(x) inter
A no vacío (caso en que tomando un punto en cada una de estas
intersecciones se obtiene una sucesión en A convergente hacia x en X
lo que implica por (*) que x está en A) o sea existe n>=1 tal que
Vn(x) es parte de X\A. Esto prueba que X\A es abierto (es una vecindad
de cada uno de sus puntos) y A cerrado.
Post by Manolo
Post by georgesZ
Post by Toroloar
Post by cthulu
La definición de compacto es que para todo recubrimiento exista
un recubrimiento finito.
para todo recubrimiento de abiertos.
Sí
para todo recubrimiento existe un subrecubrimiento finito.
Claro que se me escapo esto en su formulación imperfecta.
Post by Manolo
(por cierto un conjunto C en R^n (con la topología usual) es compacto
si toda sucesión de puntos de C tiene una subsucesión convergente a
un punto de C (no me acuerdo si se le puede exigir algo menos)
Esto es válido en todo espacio métrico (condición de
Bolzano-Weierstrass).
Post by Manolo
Post by georgesZ
Post by Toroloar
Post by cthulu
Todo conjunto compacto es cerrado??? y acotado???
Es una equivalencia en e. métricos
Es una equivalencia sólo en espacios vectoriales de dimensión finita!
en espacios métricos se da la implicación compacto=>cerrado y
acotado,pero no al revés.
Sí¿
Post by Manolo
Tenía pensado poner un ejemplo de métrica en R^2
para la cual el conjunto C={(x,y)|x^2+y^2<=1} es cerrado y acotado,
pero no es compacto. Si le interesa a alguien lo pongo en otro
mensaje.
Me interesa.
Post by Manolo
pregunta: ¿tiene sentido hablar de acotado si no hay métrica?
Se necesita una estructura uniforme (algo más que una topología).

Amicalmente,
Georges
Manolo
2004-01-05 11:52:16 UTC
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...
Post by georgesZ
Post by Manolo
Post by georgesZ
Sí, si el espacio es métrico o si es topológico y cada punto tiene una
base numerable de vecindades. Pero es falso en caso contrario!
Es cerrado si el espacio topológico es Hausdorff
(se puede exigir algo menos, pero la condición de ser Hausdorff es
más habitual).
Me temo que aquí me hice un lío con el mensaje y ese comentario ahí es
un fallo, lo que quería decir es que un compacto es cerrado en un
espacio topológico Hausdorff. Perdón por el error.
Post by georgesZ
Es cierto que se suele exigir que un espacio topológico X sea
Hausdorff para tener unicidad de los límites.
...
...
de acuerdo.

...
...
Post by georgesZ
Post by Manolo
Tenía pensado poner un ejemplo de métrica en R^2
para la cual el conjunto C={(x,y)|x^2+y^2<=1} es cerrado y acotado,
pero no es compacto. Si le interesa a alguien lo pongo en otro
mensaje.
Me interesa.
Consideramos las rectas que pasan por el origen en R^2, para ir de un
punto a otro del plano nos movemos sólo por estas rectas. La distancia
entre dos puntos viene dada por las longitudes (las más pequeñas) de
estos recorridos.
Dicho de otra forma:
Si dos puntos P, Q están sobre la misma recta que pasa por el origen,
entonces su distancia es la habitual d(P,Q)=PQ (longitud de segmento
PQ que los une).
Si dos puntos P, Q están en distintas rectas que pasan por el origen
O, la distancia entre estos dos puntos es la habitual de P a O más la
de O a Q d(P,Q)=PO+OQ.

Se puede comprobar que se cumple que
1) d(X,Y)=0 si y sólo si X=Y
2) d(X,Y)=d(Y,X)
3) d(X,Y)<=d(X,Z)+d(Z,Y)
para X,Y,Z puntos de R^2.

Consideramos el conjunto C={(x,y)|x^2+y^2<=1}

C está acotado porque está contenido en la bola de centro (0,0) y
radio 2, B((0,0),2). Esto es así porque d((x,y),(0,0)) coincide con la
habitual.

C es cerrado:
Tomamos (x,y) de R^2\C, (x,y) = r(cos t, sen t) con r>1. La bola
B((x,y),(r-1)/2)={s(cos t,sen t)| (1+r)/2 < s < (3r-1)/2} no corta al
conjunto C y es un entorno abierto de (x,y), luego C es cerrado.


Un recubrimiento de C que no admite subrecubrimiento finito:

para 0<=t<2*Pi tenemos el abierto U(t)=B((cos t,sen t), 1/2), su
apariencia es un segmento abierto en la recta que pasa por el origen y
el centro de la bola.

para t=2*Pi el abierto U(2*Pi)=B((0,0),3/4) su apariencia es un disco
abierto.

Los abiertos U(t) con t en [0,2*Pi] (conjunto infinito) forman un
recubrimiento (abierto) de C, pero si quitamos algún abierto del
recubrimiento queda algún punto de C sin cubrir. Así este
recubrimiento no admite subrecubrimiento finito y por tanto C no es
compacto.


Un saludo
Manolo
georgesZ
2004-01-05 15:28:34 UTC
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Hola Manolo,
Post by Manolo
Consideramos las rectas que pasan por el origen en R^2, para ir de un
punto a otro del plano nos movemos sólo por estas rectas. La distancia
entre dos puntos viene dada por las longitudes (las más pequeñas) de
estos recorridos.
Si dos puntos P, Q están sobre la misma recta que pasa por el origen,
entonces su distancia es la habitual d(P,Q)=PQ (longitud de segmento
PQ que los une).
Si dos puntos P, Q están en distintas rectas que pasan por el origen
O, la distancia entre estos dos puntos es la habitual de P a O más la
de O a Q d(P,Q)=PO+OQ.
Se puede comprobar que se cumple que
1) d(X,Y)=0 si y sólo si X=Y
2) d(X,Y)=d(Y,X)
3) d(X,Y)<=d(X,Z)+d(Z,Y)
para X,Y,Z puntos de R^2.
Consideramos el conjunto C={(x,y)|x^2+y^2<=1}
C está acotado porque está contenido en la bola de centro (0,0) y
radio 2, B((0,0),2). Esto es así porque d((x,y),(0,0)) coincide con la
habitual.
Tomamos (x,y) de R^2\C, (x,y) = r(cos t, sen t) con r>1. La bola
B((x,y),(r-1)/2)={s(cos t,sen t)| (1+r)/2 < s < (3r-1)/2} no corta al
conjunto C y es un entorno abierto de (x,y), luego C es cerrado.
para 0<=t<2*Pi tenemos el abierto U(t)=B((cos t,sen t), 1/2), su
apariencia es un segmento abierto en la recta que pasa por el origen y
el centro de la bola.
para t=2*Pi el abierto U(2*Pi)=B((0,0),3/4) su apariencia es un disco
abierto.
Los abiertos U(t) con t en [0,2*Pi] (conjunto infinito) forman un
recubrimiento (abierto) de C, pero si quitamos algún abierto del
recubrimiento queda algún punto de C sin cubrir. Así este
recubrimiento no admite subrecubrimiento finito y por tanto C no es
compacto.
Gracias. Muy bonito. Yo no me recuerdo haber visto ántes este ejemplo.

Amicalmente,
Georges

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