Post by piterPost by Ignacio Larrosa CañestroPost by piterSea la funcion f:[-1,8]->R
tal que
x^2-4x si -1<=x<5 (el x^2 puede ser x^3, ni se nota en el original)
(5/3)x-10/3 si 5<=x<=8
Determine en cuál de los siguientes intervalos la función es inyectiva y en cuales no , fundamente
i)[0,4] ii)[4,8] iii) [-1,8] iv)[1,5] v)[0,8]
¿esta función es sobreyectiva en algún intervalo?
¿es biyectiva en algún intervalo?
No tiene mucha historia, su gráfica es
i) una parábola entre x = -1 y x = 5, puntos en que vale 5, y
con mínimo en x = 2
ii) una recta, de pendiente 5/3 positiva, desde x = 5 hasta x = 8
Por tanto, será inyectiva en los intervalos en que sea monótona. Es
decir, en todos aquellos que no incluyan puntos a la izquierda y a la
derecha de 2, y no lo será en caso contrario.
No es sobreyectiva, puesto que es acotado: su mínimo es -4 para x = 2 y
su máximo 10 para x = 8. Para que fuera sobreyectiva su recorrido
debería ser todo R.
Como no es sobreyectiva, no puede ser biyectiva.
Ojo que si modificamos el conjunto final de la función si que sería
biyectiva.
Por ejemplo f(x) si que es una biyección entre los intervalos [2, 8] en
[-4, 10].
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Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
aqui me perdi (Por tanto, será inyectiva en los intervalos en que sea monótona. Es decir, en todos aquellos que no incluyan puntos a la izquierda y a la
derecha de 2, y no lo será en caso contrario.)
segun eso seria inyectiva en cual intervalo
i)[0,4] ii)[4,8] iii) [-1,8] iv)[1,5] v)[0,8]
Pero está bastante claro, ¿no?. ¿Dibujaste la gráfica de la función?
Una función es inyectiva si: a =/= b ===> f(a) =/= f(b).
O lo que es exactamente lo mismo, si: f(a) = f(b) ===> a = b.
Gráficamente, para que sea inyectiva una misma línea horizontal no puede
cortar en dos puntos a la gráfica de la función. Pues en ellos con dos
valores de x distintos, tendríamos el mismo valor de la función.
Antes de 2 disminuye hasta alcanzar el valor -4 en 2; después de 2
aumenta. De esos intervalos el único en que es inyectiva es el [4, 8].
Post by piterlo otro y si fuera x^3, como explique originalmente
No creo que fuese x^3. Si fuese así
f(x) = x^3 - 4x, si -1 <= x < 5
= (5/3)x - 10/3, si 5 <= x <= 8
Lo mejor es representarla, hazlo. Verás que la función disminuye su
valor de 3 a poco menos de -3 cuando x cambia de -1 a poco más de 1,
para a continuación aumentar hasta 125 cuando x aumenta hasta 5.
A partir de 5 y hasta 8, aumenta su valor de 5 a 10.
Por tanto, solo es inyectiva cuando vale entre 3 y 5, o más de 10,
excluidos los tres valores.
Para precisar exactamente de que valores de x se trata tendrias que
resolver las ecuaciones cúbicas:
x^3 - 4x = 3 ===> x = (rq(13) + 1)/2 ~= 2.302775637
x^3 - 4x = 5 ===> x = (540 - 12·√1257)^(1/3)/6 + (12·√1257 +
540)^(1/3)/6 ~= 2.456678343
x^3 - 4x = 10 ===> x = (135 - 3·√1833)^(1/3)/3 + (3·√1833 +
135)^(1/3)/3 ~= x = 2.760817834
llamándolas a, b y c, la función sería inyectiva en los intervalos
abiertos (a, b) y (c, 5).
Post by piter(por cierto conoces un buen libro de funciones, siempre me lio con cosas simples) , ojala con muchos ejercicios resueltos.
Es mejor que les preguntes a tus profesores cuales son los más adecuados
para las materias que estas cursando.
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Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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