Ley del Paralelogramo

[conchi]

Hola, y muchas gracias por las respuestas anteriores.

En un espacio de Hilbert, el producto escalar definido induce una
norma tal que:

|| f || = raiz( < f , f > )

La ley del paralelogramo dice que:

|| f + g ||^2 + || f - g ||^2 = 2|| f ||^2 + 2|| g ||^2

La demostración me resulta sencilla si aceptamos que el producto
escalar cumple la siguiente condición:

< f+g, f+g > = < f, f > + 2< f, g > + < g, g >.

¿Es esto correcto?. El producto escalar, ¿cumple esta condición?.

Si es así, ¿de dónde sale?.

Gracias y besos.

[Antonio González]

Post by conchi
Hola, y muchas gracias por las respuestas anteriores.
En un espacio de Hilbert, el producto escalar definido induce una
|| f || = raiz( < f , f > )
|| f + g ||^2 + || f - g ||^2 = 2|| f ||^2 + 2|| g ||^2
La demostración me resulta sencilla si aceptamos que el producto
< f+g, f+g > = < f, f > + 2< f, g > + < g, g >.
¿Es esto correcto?. El producto escalar, ¿cumple esta condición?.
Si es así, ¿de dónde sale?.

De la propia definición. Un producto escalar en un espacio real se
define como una forma bilineal simétrica definida positiva.

Por ser bilineal

<f+g|f+g> = <f|f+g> + <g|f+g> = <f|f> + <f|g> + <g|f> + <g|g>

y por ser simétrico

<f|g> = <g|f>

así que

<f+g|f+g> = <f|f> + 2<f|g> + <g|g>

Ahora, si prefieres una explicación más particular, depende de que
producto tengas. Si es el habitual en L^2

<f|g> = int_D f g dx

entonces la demostración es inmediata usando las reglas del producto de
números reales.

[jhn]

Post by Antonio González

Post by conchi
Hola, y muchas gracias por las respuestas anteriores.
En un espacio de Hilbert, el producto escalar definido induce una
|| f || = raiz( < f , f > )
|| f + g ||^2 + || f - g ||^2 = 2|| f ||^2 + 2|| g ||^2
La demostración me resulta sencilla si aceptamos que el producto
< f+g, f+g > = < f, f > + 2< f, g > + < g, g >.
¿Es esto correcto?. El producto escalar, ¿cumple esta condición?.
Si es así, ¿de dónde sale?.

De la propia definición. Un producto escalar en un espacio real se
define como una forma bilineal simétrica definida positiva.
Por ser bilineal
<f+g|f+g> = <f|f+g> + <g|f+g> = <f|f> + <f|g> + <g|f> + <g|g>
y por ser simétrico
  <f|g> = <g|f>
así que
  <f+g|f+g> = <f|f> + 2<f|g> + <g|g>
Ahora, si prefieres una explicación más particular, depende de que
producto tengas. Si es el habitual en L^2
<f|g> = int_D f g dx
entonces la demostración es inmediata usando las reglas del producto de
números reales.
--
   Antonio

Dos acotaciones:

1) La igualdad del paralelogramo vale en cualquier espacio con
producto interno, real o complejo, aunque no sea de Hilbert (es decir
aunque no sea completo).

Si el espacio no es real sino complejo, entonces <f,g> no es igual a
<g,f> sino a su conjugado, y no se cumple <f+g, f+g> = <f,f> + 2<f,g>
+ <g,g> sino
<f+g, f+g> = <f,f> + <f,g> + <g,f> + <g,g> = <f,f> + 2Re(<f,g>) +
<g,g>,
pero la igualdad vale igual, ya que

||f + g||^2 + ||f - g||^2 = <f+g, f+g> + <f-g, f-g>
= <f,f> + <f,g> + <g,f> + <g,g> + <f,f> - <f,g> - <g,f> + <g,g>
= 2||f||^2 + 2||g||^2

2) La igualdad del paralelogramo "caracteriza" a los espacios con
producto interno, en el sentido siguiente: dado un espacio normado
(real o complejo), la norma proviene de un producto interno si y sólo
si se cumple la igualdad del paralelogramo (para vectores
cualesquiera).

Saludos,

jhn

[Einstein]

Post by conchi
Hola, y muchas gracias por las respuestas anteriores.
En un espacio de Hilbert, el producto escalar definido induce una
|| f || = raiz( < f , f > )
|| f + g ||^2 + || f - g ||^2 = 2|| f ||^2 + 2|| g ||^2
La demostración me resulta sencilla si aceptamos que el producto
< f+g, f+g > = < f, f > + 2< f, g > + < g, g >.
¿Es esto correcto?. El producto escalar, ¿cumple esta condición?.
Si es así, ¿de dónde sale?.
Gracias y besos.

Si estas en un espacio vectorial complejo el producto escalar no es
conmutativo
se tiene que <f,g> = conjugado de <g,f> y la formula < f+g, f+g > = <
f, f > + 2< f, g > + < g, g No es correcta.Y la demostracion de la
identidad del paralelogramo cambia un poco

[Einstein]

Post by Einstein

Post by conchi
Hola, y muchas gracias por las respuestas anteriores.
En un espacio de Hilbert, el producto escalar definido induce una
|| f || = raiz( < f , f > )
|| f + g ||^2 + || f - g ||^2 = 2|| f ||^2 + 2|| g ||^2
La demostración me resulta sencilla si aceptamos que el producto
< f+g, f+g > = < f, f > + 2< f, g > + < g, g >.
¿Es esto correcto?. El producto escalar, ¿cumple esta condición?.
Si es así, ¿de dónde sale?.
Gracias y besos.

Si estas en un espacio vectorial complejo el producto escalar no es
conmutativo
se tiene que <f,g> = conjugado de <g,f> y la formula < f+g, f+g > = <
f, f > + 2< f, g > + < g, g No es correcta.Y la demostracion de la
identidad del paralelogramo cambia un poco- Ocultar texto de la cita -
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Ademas solo es lineal en la primera componente

Es decir <ax,y>= a<x,y> Esto es por definicion

Si la a esta en el segundo miembro no se puede sacar como antes del
<,>

Sale pero con su congugado es decir <x,ay>= cong(a)<x,y>

Esto ultimo es facil probar pues <x,ay> =cong(<ay,x>)= cong(a<y,x>)=
cong(a). cong(<y,x>)=cong(a)<x,y>

Q.E.D

[Einstein]

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Post by conchi
Hola, y muchas gracias por las respuestas anteriores.
En un espacio de Hilbert, el producto escalar definido induce una
|| f || = raiz( < f , f > )
|| f + g ||^2 + || f - g ||^2 = 2|| f ||^2 + 2|| g ||^2
La demostración me resulta sencilla si aceptamos que el producto
< f+g, f+g > = < f, f > + 2< f, g > + < g, g >.
¿Es esto correcto?. El producto escalar, ¿cumple esta condición?.
Si es así, ¿de dónde sale?.
Gracias y besos.

Si estas en un espacio vectorial complejo el producto escalar no es
conmutativo
se tiene que <f,g> = conjugado de <g,f> y la formula < f+g, f+g > = <
f, f > + 2< f, g > + < g, g No es correcta.Y la demostracion de la
identidad del paralelogramo cambia un poco- Ocultar texto de la cita -
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Ademas solo es lineal en la primera componente
Es decir <ax,y>= a<x,y> Esto es por definicion
Si la a esta en el segundo miembro no se puede sacar como antes del
<,>
Sale pero con su congugado es decir <x,ay>= cong(a)<x,y>
Esto ultimo es facil probar pues <x,ay> =cong(<ay,x>)= cong(a<y,x>)=
cong(a). cong(<y,x>)=cong(a)<x,y>
Q.E.D- Ocultar texto de la cita -
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la suma en la segunda componente si se descompone en dos sumas, es
decir

<x,y+z>=<x,y> +<x,z>

usando <f,g>=cong(<g,f>) la demostacion es trivial

Si ahora tenemos
<x,y-z> la diferencia en la segunda componente tambien se descompone
en dos es decir
<x,y-z>=<x,y>-<x,z>

para probar esto hay que usar <x,ay>=cong(a)<x,y>
y vamos a tener suerte de que el cong(-1)=-1

ESTE ULTIMO DETALLE <x, y-z>=<x,y>-<x,z> SE HA USADO EN LA PRUEBA
GENERAL DE LA LEY DEL PARALELOGRAMO, PERO SIN PROBARSE