Semiesfera y esfera

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de manera
que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera. ¿Para que valor de
r es máximo el volumen comprendido entre la esfera y a la semiesfera?

[Einstein]

On 21 ago, 10:44, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de manera
que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera. ¿Para que valor de
r es máximo el volumen comprendido entre la esfera y a la semiesfera?

Como no te expliques mejor ....
¿Para que tenga sentido deberia ser una superficie esferica no?
ES COMO SI A LA ESFERA LA PUSIESEMOS UN GORRO

[Einstein]

On 21 ago, 10:44, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de manera
que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera. ¿Para que valor de
r es máximo el volumen comprendido entre la esfera y a la semiesfera?

Este problema es equivalente a
Una circunferencia de radio 1 sobre la que se apoya media
circunferencia de redio r y hay que ver cuando la superficie entra las
curvas es maxima y esto es un sencillo problema de bachillerato sobre
maximos

http://euroestan.com/clases.htm

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

Contra lo que pudiera parecer a algunos, este problema no se reduce a otro
de planimetría. Hay que razonar sobre una sección plana, desde luego, pero
no se trata de maximizar áreas. Problema este otro que, en algún sentido,
sería menos 'elemental'.

[Einstein]

On 24 ago, 11:50, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

Contra lo que pudiera parecer a algunos, este problema no se reduce a otro
de planimetría. Hay que razonar sobre una sección plana, desde luego, pero
no se trata de maximizar áreas. Problema este otro que, en algún sentido,
sería menos 'elemental'.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

A veces las Matematicas tienen problemas escondidos que se salen del
sentido comun

Este puede que sea uno de ellos, porque la solucion logica seria
resolver el problema en el plano y luego con una rotacion tendriamos
la solucion en el espacio

Pues si tengo dos radios r1 y r2 que me proporcionan dos areas entre
la circunferancia y las semicircunferencias, llamesmoslas A1 A2

Parece claro que si A1 es menor que A2 al hacer la rotacion el volumen
engendrado por A1 debe ser menor que el volumen engendrado por A2

Por tanto cuando tenga el maximo en el plano este maximo tambien
valdra para el espacio

¡¡ESTO ES SOLO UNA CONJETURA!!

[Einstein]

Post by Einstein
On 24 ago, 11:50, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

Contra lo que pudiera parecer a algunos, este problema no se reduce a otro
de planimetría. Hay que razonar sobre una sección plana, desde luego, pero
no se trata de maximizar áreas. Problema este otro que, en algún sentido,
sería menos 'elemental'.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

 A veces las Matematicas tienen problemas escondidos que se salen del
sentido comun
Este puede que sea uno de ellos, porque la solucion logica seria
resolver el problema en el plano y luego con una rotacion tendriamos
la solucion en el espacio
Pues si tengo dos radios r1 y r2 que me proporcionan dos areas entre
la circunferancia y las semicircunferencias, llamesmoslas A1 A2
Parece claro que si A1 es menor que A2 al hacer la rotacion el volumen
engendrado por A1 debe ser menor que el volumen engendrado por A2
Por tanto cuando tenga el maximo en el plano este maximo tambien
valdra para el espacio
¡¡ESTO ES SOLO UNA CONJETURA!!

La conjetura anterior es falsa por la siguiente razon

El volumen engendrado no depende solamente del area que lo genere,
sino de la distancia de esa superficie al eje de rotacion

Ejemplo:
un donuts se genera por una circunferencia girando. Puedo tener una
circunferencia girando a mayor distancia del eje de rotacion con
menor area y que me genere mas volumen que una de mayor area pero mas
cerca del eje de rotacion.
Asi pues la conjetura anterior se la tira a la papelera

http://euroestan.com/clases.htm

[i***@mundo-r.com]

Post by Einstein
On 24 ago, 11:50, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

Contra lo que pudiera parecer a algunos, este problema no se reduce a otro
de planimetría. Hay que razonar sobre una sección plana, desde luego, pero
no se trata de maximizar áreas. Problema este otro que, en algún sentido,
sería menos 'elemental'.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

 A veces las Matematicas tienen problemas escondidos que se salen del
sentido comun
Este puede que sea uno de ellos, porque la solucion logica seria
resolver el problema en el plano y luego con una rotacion tendriamos
la solucion en el espacio
Pues si tengo dos radios r1 y r2 que me proporcionan dos areas entre
la circunferancia y las semicircunferencias, llamesmoslas A1 A2
Parece claro que si A1 es menor que A2 al hacer la rotacion el volumen
engendrado por A1 debe ser menor que el volumen engendrado por A2
Por tanto cuando tenga el maximo en el plano este maximo tambien
valdra para el espacio
¡¡ESTO ES SOLO UNA CONJETURA!!

La conjetura anterior es  falsa por la siguiente razon
El volumen engendrado no depende solamente del area que lo genere,
sino de la distancia de esa superficie al eje de rotacion
un donuts se genera por una circunferencia girando. Puedo tener una
circunferencia girando a mayor distancia del eje de rotacion  con
menor area y que me genere mas volumen que una de mayor area pero mas
cerca del eje de rotacion.
 Asi pues la conjetura anterior se la tira a la papelera
http://euroestan.com/clases.htm- Ocultar texto de la cita -
- Mostrar texto de la cita -

Bien, ya hemos redescubierto los momentos de inercia ...

Ignacio Larrosa

(convenciendose de las ventajas de los programas lectores de news,
mientras duren las news, que a este paso ...)

[Einstein]

Post by i***@mundo-r.com

Post by Einstein
On 24 ago, 11:50, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

Contra lo que pudiera parecer a algunos, este problema no se reduce a otro
de planimetría. Hay que razonar sobre una sección plana, desde luego, pero
no se trata de maximizar áreas. Problema este otro que, en algún sentido,
sería menos 'elemental'.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

 A veces las Matematicas tienen problemas escondidos que se salen del
sentido comun
Este puede que sea uno de ellos, porque la solucion logica seria
resolver el problema en el plano y luego con una rotacion tendriamos
la solucion en el espacio
Pues si tengo dos radios r1 y r2 que me proporcionan dos areas entre
la circunferancia y las semicircunferencias, llamesmoslas A1 A2
Parece claro que si A1 es menor que A2 al hacer la rotacion el volumen
engendrado por A1 debe ser menor que el volumen engendrado por A2
Por tanto cuando tenga el maximo en el plano este maximo tambien
valdra para el espacio
¡¡ESTO ES SOLO UNA CONJETURA!!

La conjetura anterior es  falsa por la siguiente razon
El volumen engendrado no depende solamente del area que lo genere,
sino de la distancia de esa superficie al eje de rotacion
un donuts se genera por una circunferencia girando. Puedo tener una
circunferencia girando a mayor distancia del eje de rotacion  con
menor area y que me genere mas volumen que una de mayor area pero mas
cerca del eje de rotacion.
 Asi pues la conjetura anterior se la tira a la papelera
http://euroestan.com/clases.htm-Ocultar texto de la cita -
- Mostrar texto de la cita -

Bien, ya hemos redescubierto los momentos de inercia ...
Ignacio Larrosa
(convenciendose de las ventajas de los programas lectores de news,
mientras duren las news, que a este paso ...)

Por coordenadas polares, pero no me apetece hacer numeros

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

Como me voy a ir 10 días un poco al Este, vamos a dejar esto reuelto:

El volumen de la semiesfera es

Vh = (2pi/3)*r^3

El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es

Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)

Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente. Coimo el
radio de la esfera es 1, tenemos que

1 = (1 - h)^2 + r^2 ===> h = 1 - sqrt(1 - r^2)

teniendo en cuenta que h < 1.

Entonces, el volumen pedido es

V(r) = Vh - Vc

= (2pi/3)*r^3 - (pi/6)(1 - rq(1 - r^2))(3r^2 + (- 2rq(1 - r^2) - r^2
+ 2))

= (pi/3)(rq(1 - r^2)(r^2 + 2) + 2r^3 - 2)

Derivando,

V'(r) = pi*r^2(2rq(1 - r^2) - r)/rq(1 - r^2)

V'(r) = 0 ===> r = 0, r = +/- 2/rq(5)

La única posible solución para el problema es

r = 2/sqrt(5) ~= 0.8944271909...

Para r = 0, V(r) = 0, para r = 1, también V(r) = 0, y entre estos valores
V(r) > 0.
Como V(r) es continua y derivable en (0, 1), el valor r = 2/sqrt(5)
corresponde a un máximo.

El volumen máximo limitado por ambas superficies es entonces

Vmax = (pi/3)(rq(1 - 4/5)(4/5 + 2) + (8/5)(2/rq(5)) - 2)

= pi*(6*rq(5) - 10)/15 ~= 0.71553079...

Aqui está el enunciado del problema y su solución (en Inglés). La diferencia
con la expuesta es que calcula el volumen del casquete esférico.

[Einstein]

On 25 ago, 20:25, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

El volumen de la semiesfera es
Vh = (2pi/3)*r^3
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente. Coimo el
radio de la esfera es 1, tenemos que
1 = (1 - h)^2 + r^2  ===>  h = 1 - sqrt(1 - r^2)
teniendo en cuenta que h < 1.
Entonces, el volumen pedido es
V(r) = Vh - Vc
        = (2pi/3)*r^3 - (pi/6)(1 - rq(1 - r^2))(3r^2 + (- 2rq(1 - r^2) - r^2
+ 2))
        = (pi/3)(rq(1 - r^2)(r^2 + 2) + 2r^3 - 2)
Derivando,
V'(r) = pi*r^2(2rq(1 - r^2) - r)/rq(1 - r^2)
V'(r) = 0 ===>   r = 0, r = +/- 2/rq(5)
La única posible solución para el problema es
 r = 2/sqrt(5) ~= 0.8944271909...
Para r = 0, V(r) = 0, para r = 1, también V(r) = 0, y entre estos valores
V(r) > 0.
Como V(r) es continua y derivable en (0, 1), el valor r = 2/sqrt(5)
corresponde a un máximo.
El volumen máximo limitado por ambas superficies es entonces
Vmax = (pi/3)(rq(1 - 4/5)(4/5 + 2) + (8/5)(2/rq(5)) - 2)
          = pi*(6*rq(5) - 10)/15 ~= 0.71553079...
Aqui está el enunciado del problema y su solución (en Inglés). La diferencia
con la expuesta es que calcula el volumen del casquete esférico.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente

http://euroestan.com/clases.htm

[Einstein]

Post by Einstein
On 25 ago, 20:25, "Ignacio Larrosa Cañestro"

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Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

El volumen de la semiesfera es
Vh = (2pi/3)*r^3
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente. Coimo el
radio de la esfera es 1, tenemos que
1 = (1 - h)^2 + r^2  ===>  h = 1 - sqrt(1 - r^2)
teniendo en cuenta que h < 1.
Entonces, el volumen pedido es
V(r) = Vh - Vc
        = (2pi/3)*r^3 - (pi/6)(1 - rq(1 - r^2))(3r^2 + (- 2rq(1 - r^2) - r^2
+ 2))
        = (pi/3)(rq(1 - r^2)(r^2 + 2) + 2r^3 - 2)
Derivando,
V'(r) = pi*r^2(2rq(1 - r^2) - r)/rq(1 - r^2)
V'(r) = 0 ===>   r = 0, r = +/- 2/rq(5)
La única posible solución para el problema es
 r = 2/sqrt(5) ~= 0.8944271909...
Para r = 0, V(r) = 0, para r = 1, también V(r) = 0, y entre estos valores
V(r) > 0.
Como V(r) es continua y derivable en (0, 1), el valor r = 2/sqrt(5)
corresponde a un máximo.
El volumen máximo limitado por ambas superficies es entonces
Vmax = (pi/3)(rq(1 - 4/5)(4/5 + 2) + (8/5)(2/rq(5)) - 2)
          = pi*(6*rq(5) - 10)/15 ~= 0.71553079...
Aqui está el enunciado del problema y su solución (en Inglés). La diferencia
con la expuesta es que calcula el volumen del casquete esférico.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente

http://euroestan.com/clases.htm- Ocultar texto de la cita -
- Mostrar texto de la cita -

Como la proyeccion sobre el plano XY es una circunferencia este
problema esta pidiendo a gritos unas coordenadas polares

El problema lo tengo resuelto en un papel pero me da pereza escribirlo
aqui, por la notacion

http://euroestan.com/clases.htm

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Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

El volumen de la semiesfera es
Vh = (2pi/3)*r^3
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente. Coimo el
radio de la esfera es 1, tenemos que
1 = (1 - h)^2 + r^2  ===>  h = 1 - sqrt(1 - r^2)
teniendo en cuenta que h < 1.
Entonces, el volumen pedido es
V(r) = Vh - Vc
        = (2pi/3)*r^3 - (pi/6)(1 - rq(1 - r^2))(3r^2 + (- 2rq(1 - r^2) - r^2
+ 2))
        = (pi/3)(rq(1 - r^2)(r^2 + 2) + 2r^3 - 2)
Derivando,
V'(r) = pi*r^2(2rq(1 - r^2) - r)/rq(1 - r^2)
V'(r) = 0 ===>   r = 0, r = +/- 2/rq(5)
La única posible solución para el problema es
 r = 2/sqrt(5) ~= 0.8944271909...
Para r = 0, V(r) = 0, para r = 1, también V(r) = 0, y entre estos valores
V(r) > 0.
Como V(r) es continua y derivable en (0, 1), el valor r = 2/sqrt(5)
corresponde a un máximo.
El volumen máximo limitado por ambas superficies es entonces
Vmax = (pi/3)(rq(1 - 4/5)(4/5 + 2) + (8/5)(2/rq(5)) - 2)
          = pi*(6*rq(5) - 10)/15 ~= 0.71553079...
Aqui está el enunciado del problema y su solución (en Inglés). La diferencia
con la expuesta es que calcula el volumen del casquete esférico.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente

http://euroestan.com/clases.htm-Ocultar texto de la cita -
- Mostrar texto de la cita -

Como la proyeccion sobre el plano XY  es una circunferencia este
problema esta pidiendo a gritos unas coordenadas polares
El problema lo tengo resuelto en un papel pero me da pereza escribirlo
aqui, por la notacion
http://euroestan.com/clases.htm- Ocultar texto de la cita -
- Mostrar texto de la cita -

voy a demostrar con coordenadas polares algo mas corto, que el volumen
de una esfera de radio 1 es 4/3* pi

la funcion de la semiesfera superior es z=sqrt(x^2+y^2)

usando polares x=rcos(a)
y=rsen(a)

despues de sustituir y multiplicar por el jacobiana de la
transformacion a polares que es =r
queda la siguiente intefral doble

integral doble de r* sqrt(1-r^2)drda

integrando primero respecto a r sale 1/3(la integral es inmediata)
y luego lo integro respecto al angulo y sale lo anterior multiplicado
por 2pi


el total es 2pi/3

luego para el total de la esfera el volumen es 4pi/3

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Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

El volumen de la semiesfera es
Vh = (2pi/3)*r^3
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente. Coimo el
radio de la esfera es 1, tenemos que
1 = (1 - h)^2 + r^2  ===>  h = 1 - sqrt(1 - r^2)
teniendo en cuenta que h < 1.
Entonces, el volumen pedido es
V(r) = Vh - Vc
        = (2pi/3)*r^3 - (pi/6)(1 - rq(1 - r^2))(3r^2 + (- 2rq(1 - r^2) - r^2
+ 2))
        = (pi/3)(rq(1 - r^2)(r^2 + 2) + 2r^3 - 2)
Derivando,
V'(r) = pi*r^2(2rq(1 - r^2) - r)/rq(1 - r^2)
V'(r) = 0 ===>   r = 0, r = +/- 2/rq(5)
La única posible solución para el problema es
 r = 2/sqrt(5) ~= 0.8944271909...
Para r = 0, V(r) = 0, para r = 1, también V(r) = 0, y entre estos valores
V(r) > 0.
Como V(r) es continua y derivable en (0, 1), el valor r = 2/sqrt(5)
corresponde a un máximo.
El volumen máximo limitado por ambas superficies es entonces
Vmax = (pi/3)(rq(1 - 4/5)(4/5 + 2) + (8/5)(2/rq(5)) - 2)
          = pi*(6*rq(5) - 10)/15 ~= 0.71553079...
Aqui está el enunciado del problema y su solución (en Inglés). La diferencia
con la expuesta es que calcula el volumen del casquete esférico.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente

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Como la proyeccion sobre el plano XY  es una circunferencia este
problema esta pidiendo a gritos unas coordenadas polares
El problema lo tengo resuelto en un papel pero me da pereza escribirlo
aqui, por la notacion
http://euroestan.com/clases.htm-Ocultar texto de la cita -
- Mostrar texto de la cita -

voy a demostrar con coordenadas polares algo mas corto, que el volumen
de una esfera de radio 1 es 4/3* pi
la funcion de la semiesfera superior es z=sqrt(x^2+y^2)
usando polares x=rcos(a)
               y=rsen(a)
despues de sustituir y multiplicar por el jacobiana de la
transformacion a polares que es =r
queda la siguiente intefral doble
integral doble de r* sqrt(1-r^2)drda
integrando primero respecto a r sale 1/3(la integral es inmediata)
y luego lo integro respecto al angulo y sale lo anterior multiplicado
por 2pi
el total es 2pi/3
luego para el total de la esfera el volumen es 4pi/3
- Mostrar texto de la cita -

Puse mal la funcion z
la funcion z es z= sqrt(1-(x^2+y^2))

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Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

El volumen de la semiesfera es
Vh = (2pi/3)*r^3
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente. Coimo el
radio de la esfera es 1, tenemos que
1 = (1 - h)^2 + r^2  ===>  h = 1 - sqrt(1 - r^2)
teniendo en cuenta que h < 1.
Entonces, el volumen pedido es
V(r) = Vh - Vc
        = (2pi/3)*r^3 - (pi/6)(1 - rq(1 - r^2))(3r^2 + (- 2rq(1 - r^2) - r^2
+ 2))
        = (pi/3)(rq(1 - r^2)(r^2 + 2) + 2r^3 - 2)
Derivando,
V'(r) = pi*r^2(2rq(1 - r^2) - r)/rq(1 - r^2)
V'(r) = 0 ===>   r = 0, r = +/- 2/rq(5)
La única posible solución para el problema es
 r = 2/sqrt(5) ~= 0.8944271909...
Para r = 0, V(r) = 0, para r = 1, también V(r) = 0, y entre estos valores
V(r) > 0.
Como V(r) es continua y derivable en (0, 1), el valor r = 2/sqrt(5)
corresponde a un máximo.
El volumen máximo limitado por ambas superficies es entonces
Vmax = (pi/3)(rq(1 - 4/5)(4/5 + 2) + (8/5)(2/rq(5)) - 2)
          = pi*(6*rq(5) - 10)/15 ~= 0.71553079...
Aqui está el enunciado del problema y su solución (en Inglés). La diferencia
con la expuesta es que calcula el volumen del casquete esférico.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente

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- Mostrar texto de la cita -

Como la proyeccion sobre el plano XY  es una circunferencia este
problema esta pidiendo a gritos unas coordenadas polares
El problema lo tengo resuelto en un papel pero me da pereza escribirlo
aqui, por la notacion
http://euroestan.com/clases.htm-Ocultartexto de la cita -
- Mostrar texto de la cita -

voy a demostrar con coordenadas polares algo mas corto, que el volumen
de una esfera de radio 1 es 4/3* pi
la funcion de la semiesfera superior es z=sqrt(x^2+y^2)
usando polares x=rcos(a)
               y=rsen(a)
despues de sustituir y multiplicar por el jacobiana de la
transformacion a polares que es =r
queda la siguiente intefral doble
integral doble de r* sqrt(1-r^2)drda
integrando primero respecto a r sale 1/3(la integral es inmediata)
y luego lo integro respecto al angulo y sale lo anterior multiplicado
por 2pi
el total es 2pi/3
luego para el total de la esfera el volumen es 4pi/3
- Mostrar texto de la cita -

Puse mal la funcion z
la funcion z es z= sqrt(1-(x^2+y^2))
http://euroestan.com/clases.htm- Ocultar texto de la cita -
- Mostrar texto de la cita -

Con un cambio a polares y previamente habiendo pasado de una variable
a 2 variables tambien se prueba el importante y famoso resultado de
que la integral de e^-(x^2) entre menos infinito y infinito es sqrt
(2*pi)

Euler dijo que el que no viera de forma rapida que la anterior
integral es sqrt(2*pi)no era un matematico

[Einstein]

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On 25 ago, 20:25, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

El volumen de la semiesfera es
Vh = (2pi/3)*r^3
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente. Coimo el
radio de la esfera es 1, tenemos que
1 = (1 - h)^2 + r^2  ===>  h = 1 - sqrt(1 - r^2)
teniendo en cuenta que h < 1.
Entonces, el volumen pedido es
V(r) = Vh - Vc
        = (2pi/3)*r^3 - (pi/6)(1 - rq(1 - r^2))(3r^2 + (- 2rq(1 - r^2) - r^2
+ 2))
        = (pi/3)(rq(1 - r^2)(r^2 + 2) + 2r^3 - 2)
Derivando,
V'(r) = pi*r^2(2rq(1 - r^2) - r)/rq(1 - r^2)
V'(r) = 0 ===>   r = 0, r = +/- 2/rq(5)
La única posible solución para el problema es
 r = 2/sqrt(5) ~= 0.8944271909...
Para r = 0, V(r) = 0, para r = 1, también V(r) = 0, y entre estos valores
V(r) > 0.
Como V(r) es continua y derivable en (0, 1), el valor r = 2/sqrt(5)
corresponde a un máximo.
El volumen máximo limitado por ambas superficies es entonces
Vmax = (pi/3)(rq(1 - 4/5)(4/5 + 2) + (8/5)(2/rq(5)) - 2)
          = pi*(6*rq(5) - 10)/15 ~= 0.71553079...
Aqui está el enunciado del problema y su solución (en Inglés). La diferencia
con la expuesta es que calcula el volumen del casquete esférico.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a la
semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente

http://euroestan.com/clases.htm-Ocultartextodela cita -
- Mostrar texto de la cita -

Como la proyeccion sobre el plano XY  es una circunferencia este
problema esta pidiendo a gritos unas coordenadas polares
El problema lo tengo resuelto en un papel pero me da pereza escribirlo
aqui, por la notacion
http://euroestan.com/clases.htm-Ocultartextode la cita -
- Mostrar texto de la cita -

voy a demostrar con coordenadas polares algo mas corto, que el volumen
de una esfera de radio 1 es 4/3* pi
la funcion de la semiesfera superior es z=sqrt(x^2+y^2)
usando polares x=rcos(a)
               y=rsen(a)
despues de sustituir y multiplicar por el jacobiana de la
transformacion a polares que es =r
queda la siguiente intefral doble
integral doble de r* sqrt(1-r^2)drda
integrando primero respecto a r sale 1/3(la integral es inmediata)
y luego lo integro respecto al angulo y sale lo anterior multiplicado
por 2pi
el total es 2pi/3
luego para el total de la esfera el volumen es 4pi/3
- Mostrar texto de la cita -

Puse mal la funcion z
la funcion z es z= sqrt(1-(x^2+y^2))
http://euroestan.com/clases.htm-Ocultar texto de la cita -
- Mostrar texto de la cita -

Con un cambio a polares y previamente habiendo pasado de una variable
a 2 variables tambien se prueba el importante y famoso resultado de
que la integral de e^-(x^2) entre menos infinito y infinito es sqrt
(2*pi)
Euler dijo que el que no viera de forma rapida que la anterior
integral es sqrt(2*pi)no era un matematico

El truco esta en pasar de e^-(x^2) a e^-(x^2+y^2)
separarlo en dos factores
e-(x^2) e^-(y^2) y ahora al usar el teorema de Fubinni se ve que la
integral que me han pedido al cuadrado es 2pi

Yo si lo veo... segun Euler soy un matematico

http://euroestan.com/clases.htm

[jhn]

On 25 ago, 15:44, Einstein <clases-de-***@hotmail.com> wrote:
(...)

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Euler dijo que el que no viera de forma rapida que la anterior
integral es sqrt(2*pi)no era un matematico

(...)

Post by Einstein
Yo si lo veo... segun Euler soy un matematico

Euler no hubiese caído en la falacia de negar el antecedente.

jhn

[Einstein]

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(...)

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Post by Einstein
Euler dijo que el que no viera de forma rapida que la anterior
integral es sqrt(2*pi)no era un matematico

(...)

Post by Einstein
Yo si lo veo... segun Euler soy un matematico

Euler no hubiese caído en la falacia de negar el antecedente.
jhn

yo no he negado ningun antecedente solo he afirmado que la formula:

El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a
la
semiesfera es

Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)

Donde r y h son el radio y la altura del casquete

no esta probada



Para mi una prueba es hacer por ejemplo lo que he hecho anteriormente
con el volumen de una esfera de radio 1

http://euroestan.com/clases.htm

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de
manera que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera.
¿Para que valor de r es máximo el volumen comprendido entre la esfera
y a la semiesfera?

El volumen de la semiesfera es
Vh = (2pi/3)*r^3
El volumen del casquete esférico, de la esfera de radio 1, interior a
la semiesfera es
Vc = (pi/6)h(3r^2 + h^2)
Donde r y h son el radio y la altura del casquete, respectivamente.
Coimo el radio de la esfera es 1, tenemos que
1 = (1 - h)^2 + r^2 ===> h = 1 - sqrt(1 - r^2)
teniendo en cuenta que h < 1.
Entonces, el volumen pedido es
V(r) = Vh - Vc
= (2pi/3)*r^3 - (pi/6)(1 - rq(1 - r^2))(3r^2 + (- 2rq(1 - r^2)
- r^2 + 2))
= (pi/3)(rq(1 - r^2)(r^2 + 2) + 2r^3 - 2)
Derivando,
V'(r) = pi*r^2(2rq(1 - r^2) - r)/rq(1 - r^2)
V'(r) = 0 ===> r = 0, r = +/- 2/rq(5)
La única posible solución para el problema es
r = 2/sqrt(5) ~= 0.8944271909...
Para r = 0, V(r) = 0, para r = 1, también V(r) = 0, y entre estos
valores V(r) > 0.
Como V(r) es continua y derivable en (0, 1), el valor r = 2/sqrt(5)
corresponde a un máximo.
El volumen máximo limitado por ambas superficies es entonces
Vmax = (pi/3)(rq(1 - 4/5)(4/5 + 2) + (8/5)(2/rq(5)) - 2)
= pi*(6*rq(5) - 10)/15 ~= 0.71553079...
Aqui está el enunciado del problema y su solución (en Inglés). La
diferencia con la expuesta es que calcula el volumen del casquete
esférico.

Olvidé poner el enlace:

http://faculty.missouristate.edu/l/lesreid/Adv123.html

Calculemos de todas formas el volumen del casquete esférico a la moda
arquimediana. Consideramos una semiesfera de radio R descansando en un plano
horizontal apoyada en su polo, y un cilindro y un cono de radios y alturas
también iguales a R. Las secciones planas horizontales a una altura h del
cono y la esfera suan lo mismo que la del cilindro, para 0 <= h <= R.

S_esf + S_con = S_cil

como se comprueba de inmediato.

Por tanto el volumen entre el plano horizontal y el correspondiente a h,
verifican la misma relación. Entonces,

V_cas(R, h) = piR^2h - (pi/3)(R^3 - (R - h)^3)

= (pi/3)h^2(3R - h)

(Por cierto que haciendo h = R se obtiene el volumen de la semiesfera, y por
tanto de la esfera)

Pero nos interesa dejarlo en función del radio r de la base del casquete
esférico. Tenemos que

R^2 = r^2 + (R - h)^2 = R^2 -2Rh + r^2 + h^2 ===>

R = (r^2 + h^2)/(2h)

Sustituyendo, nos queda la deseada fórmula:

V_cas = (pi/6)h(3r^2 + h^2)

[Eduardo]

On Aug 21, 5:44 am, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Sobre una esfera de radio 1 se apoya una semiesfera de radio r, de manera
que todo su borde se encuentre en contacto con la esfera. ¿Para que valor de
r es máximo el volumen comprendido entre la esfera y a la semiesfera?

Si no me perdi en el espacio, el volumen buscado corresponde al
volumen de la semiesfera (2/3 pi r^3) menos el del casquete esferico
( 1/3 pi (1-raiz(1-r^2))(2+raiz(1-r^2)) )
Derivando saco que es maximo para r = 2/raiz(5).