Esfera-cubo

[loli]

Hola.

Sea X={ (x,y,z) en R^3 | x^2 + y^2 + z^2 <= 1} e Y=={ (x,y,z) en R^3 |
0<=x<=1, 0<=y<=1,0<=z<=1 }, con sus topologías relativas a R^3

es decir, una esfera compacta y un cubo compacto. Sabemos que son
homeomorfos. ¿Qué homeomorfismo se puede establecer entre ellos?.

Gracias.

[Antonio González]

Post by loli
Hola.
Sea X={ (x,y,z) en R^3 | x^2 + y^2 + z^2 <= 1} e Y=={ (x,y,z) en R^3 |
0<=x<=1, 0<=y<=1,0<=z<=1 }, con sus topologías relativas a R^3
es decir, una esfera compacta y un cubo compacto. Sabemos que son
homeomorfos. ¿Qué homeomorfismo se puede establecer entre ellos?.

Hay muchas posibilidades. Por ejemplo, primero dilatar el cubo para
convertirlo en el [-1,1]x[-1,1]x[-1,1] con la transformación

u = 2x-1, v = 2y-1 w = 2z-1

y luego "hincharlo" como un cubo de goma, de tal forma que

(x',y',z') = (u,v,w)t

donde

t = max(u,v,w)/rq(u^2+v^2+w^2)

Otra posibilidad es hacer el cambio de cartesianas a esféricas

x' = x sen(pi y) cos(2pi z)

y' = x sen(pi y) sen(2 pi z)

z' = x cos(pi y)

aunque ésta presenta problemas con la frontera.