raices cúbicas

[xano]

Para calcular una raíz cúbica con unos pocos decimales, sin calculadora, se
me ocurre:
-por desarrollo en serie de Taylor......muy largo, ¿y si no conozco el
cálculo diferencial?
-con una tabla de logaritmos......fácil, ¿y si no tengo tabla, ni sé lo que
es un logaritmo?
-acotar la solución al intervalo comprendido entre el entero anterior y
posterior, dividir ese intervalo por la mitad e ir repitiendo el
proceso,.........puff, demasiadas multiplicaciones.
¿más?
Al grano:
¿Existe un procedimiento para calcular una raíz cúbica "a mano" similar al
de la raíz cuadrada (se separan las cifras del número de dos en dos
empezando por la derecha, etc. etc.)?
Es una curiosidad que me quedó de pequeñajo.
Recuerdo que me decían: "ya verás cuando lleguemos a las raíces cúbicas, eso
sí que es difícil", pero no llegaron nunca.
No hace falta explicarlo, sólo quiero saber si existe.
Si es así, ¡lo encontraré! :-)
Salu2

"Si un alumno aprueba, se le alaba;
si suspende, la culpa es del maestro"

[Antonio González]

Post by xano
¿Existe un procedimiento para calcular una raíz cúbica "a mano" similar al
de la raíz cuadrada (se separan las cifras del número de dos en dos
empezando por la derecha, etc. etc.)?

Imagino que sí, pero seguramente obtendrás mejores resultados empleando
el método de Newton-Raphson (aunque el resultado sea una fracción, en
vez de un decimal).

[xano]

Post by xano
¿Existe un procedimiento para calcular una raíz cúbica "a mano" similar
al de la raíz cuadrada (se separan las cifras del número de dos en dos
empezando por la derecha, etc. etc.)?

Imagino que sí, pero seguramente obtendrás mejores resultados empleando el
método de Newton-Raphson (aunque el resultado sea una fracción, en vez de
un decimal).

Muy ingenioso, aunque me ha costado un poco pillarlo.
Quiero encontrar la raíz cúbica de n, a la que llamo x.
x=n^1/3
x^3 = n
Se trata entonces de encontrar la raíz real de la función
f(x) = x^3 -n
Ahora aplico Newton-Raphson, que si no me equivoco es el método de la "recta
secante"
Lo he hecho para un ejemplo sencillo
raíz cúbica de 900
empezando con x=10 a la primera iteración obtengo
n = 29/3
No está mal.
La convergencia parece rápida
Muy ingenioso

Lo que pasa que mi amigo (el que quiere calcular la raíz cúbica) no conoce
ese método. Digamos que vive en el siglo XII.

¿Alguien más se anima?

Gracias Antonio
Salu2

"Todo el mundo se queja de su memoria,
pero nadie se queja de su inteligencia"
F. de Rochefoucauld

[Antonio González]

Post by xano

Post by xano
¿Existe un procedimiento para calcular una raíz cúbica "a mano" similar
al de la raíz cuadrada (se separan las cifras del número de dos en dos
empezando por la derecha, etc. etc.)?

Imagino que sí, pero seguramente obtendrás mejores resultados empleando el
método de Newton-Raphson (aunque el resultado sea una fracción, en vez de
un decimal).

Muy ingenioso, aunque me ha costado un poco pillarlo.
Quiero encontrar la raíz cúbica de n, a la que llamo x.
x=n^1/3
x^3 = n
Se trata entonces de encontrar la raíz real de la función
f(x) = x^3 -n
Ahora aplico Newton-Raphson, que si no me equivoco es el método de la "recta
secante"

No son exactamente lo mismo. El de Newton Raphson usa la derivada,
mientras que el de la secante usa una aproximación a la derivada.
Por ello, el de la secante requiere dos puntos de partida, como el de
bisección.

http://mathworld.wolfram.com/NewtonsMethod.html
http://mathworld.wolfram.com/SecantMethod.html

El método de Newton-Raphson es estandar para calcular raices de un
número. Para una raíz cúbica da

f(x) = x^3 - n

x(k+1) = x(k) - f(x(k))/f'(x(k))

= x(k) - (x(k)^3 -n)/(3x(k)^2) =

= (2x(k)^3 + n)/(3x(k)^2)

Post by xano
Lo he hecho para un ejemplo sencillo
raíz cúbica de 900
empezando con x=10 a la primera iteración obtengo
n = 29/3

Esto muestra que en realidad sí has usado el de Newton, no el de la secante.

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by xano

Post by Antonio González

Post by xano
¿Existe un procedimiento para calcular una raíz cúbica "a mano"
similar al de la raíz cuadrada (se separan las cifras del número de
dos en dos empezando por la derecha, etc. etc.)?

Imagino que sí, pero seguramente obtendrás mejores resultados
empleando el método de Newton-Raphson (aunque el resultado sea una
fracción, en vez de un decimal).

Muy ingenioso, aunque me ha costado un poco pillarlo.
Quiero encontrar la raíz cúbica de n, a la que llamo x.
x=n^1/3
x^3 = n
Se trata entonces de encontrar la raíz real de la función
f(x) = x^3 -n
Ahora aplico Newton-Raphson, que si no me equivoco es el método de la
"recta secante"
Lo he hecho para un ejemplo sencillo
raíz cúbica de 900
empezando con x=10 a la primera iteración obtengo
n = 29/3
No está mal.
La convergencia parece rápida
Muy ingenioso
Lo que pasa que mi amigo (el que quiere calcular la raíz cúbica) no
conoce ese método. Digamos que vive en el siglo XII.
¿Alguien más se anima?

Te copio de un libro de Aritmética (Grado Superior) de 1923, de la editorial
'Saturnino Calleja' (la misma que la de aquello de " ... tienes más cuento
que Calleja ..."):

==========================
Raíz cúbica de un número es otro que, repetido por factor tres veces,
reproduce el primero.

Los casos son dos: 1.º, que el radicando sea menor que 1000, y 2.º, que sea
mayor que 1000.

El 1º se resuelve con la tabla de los cubos de los nueve primeros números.

El 2º se funda en la composición del cubo de un número formado por decenas y
unidades y diferencia entre los cubos de dos números consecutivos, según la
cual el residuo de una raíz cúbica ha de ser menor que el triplo del
cuadrado de la raíz, más triplo de la misma raíz, más uno.

Se resuelve el 2º caso dividiendo el radicando en grupos de tres cifras a
partir de la derecha y no importando que en el último queden una o dos
cifras. Se extrae la raíz cúbica del primero de la izquierda y esa cifra
será la 1.ª de la raíz que se elevara al cubo para restarle de dicha primera
sección. A su derecha se copia el grupo siguiente separando las dos primeras
cifras de la derecha y dividiendo el número que queda por el triplo del
cuadrado de la raíz hallada; este cociente será la segunda cifra de la raíz
o mayor que ella. Para cerciorarnos se escribe a la derecha de la 1.ª,
juntas se elevan al cubo, y si éste puede restarse de las dos primeras
secciones del radicando, esa cifra será la verdadera; pero si no, se
disminuye la 2.ª cifra en una unidad y se hace el mismo ensayo. Una vez
restado este cubo de dichas dos secciones, a la derecha del resto se escribe
la 3.ª sección y se continua igual hasta que no haya más secciones en el
radicando.
===========================

Yo le recomendaría a tu amigo que aprendiese cálculo (infinitesimal) ...
Intento, no obstante, reproducirte el ejemplo que viene en el librito. La
disposición de las cifras es la misma que en el caso de la raíz cuadrada,
que supongo que conoces.

Se trata de hallar la raíz cúbica de 64_960_374, que ya he separado de tres
en tres cifras a partir de la derecha.

Directamente de la tabla de cubos vemos que el mayor cubo menor o igual que
64 es precisamente 64 = 4^3, por lo que 4 es la primera cifra y el primer
resto parcial es 0.

Bajamos las tres siguientes, 960, y separamos las dos últimas, quedandonos
con el 9. Dividimos este número por "triplo del cuadrado de la raíz
hallada", es decir por 3*4^2 = 48, resultando 0, que es la segunda cifra del
radicando, puesto que esta no puede ser menor. Restamos 40^3 = 64000 de
64960 y nos queda 960, que sería el segundo resto parcial (este último paso
puede suprimirse por obvio y de hecho en el desarrollo de la operación en el
libro no figura).

Bajamos el siguiente grupo de tres cifras, 374, añadiendolas al resto
anterior y separamos las dos últimas, quedandonos pues con 9603. Lo
dividimos por 3*40^2 = 4800 y obtenemos 2, que es la posible tercera cifra
de la raíz. Pero calculamos 402^3 = 64964208, y vemos que es excesiva. Por
tanto la tercera cifra es un 1. Calculamos 401^3 = 64481201 y obtenemos un
nuevo resto de 479173.

Como agotamos los grupos de tres cifras, este es el resto entero de la raíz
cúbica. Si queremos sacar decimales, ya ves cual es el procedimiento: se le
añaden al radicando ceros de tres en tres y se continua igual. Otro tanto,
si el radicando tenía decimales: se completa con los ceros necesarios para
poder dividir las cifras después del punto decimal en grupos de tres.

El procedimiento, como Žves, es bastante engorroso, especialmente porque el
número de cifras de los restos parciales es creciente ... Como ocurría con
la raíz cuadrada, aunque peor ... Y no se por que digo ocurría, porque tal
algoritmo para la raíz cuadrada se sigue, incomprensiblemente a mi modo de
ver, enseñando ...

P.S.: confundiste el método de Newton-Raphson, o 'de la tangente', con el
'de la secante' o 'regula falsi'.

[xano]

"Ignacio Larrosa Cañestro" escribió

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Te copio de un libro de Aritmética (Grado Superior) de 1923, de la
editorial 'Saturnino Calleja' (la misma que la de aquello de " ... tienes

JO*ER!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
¡Que pasada!
Eres un crak Ignacio
No es que me quitara el sueño, pero ya dudaba de que existiera este método.
Si lo enmarco en la habitación mi mujer me mata,
ya pensaré que hago, pero lo guardaré a buen recaudo.

...................[Tenía usted razón Sr. Boix (estimado profesor de mates
de EGB), un saludo desde aquí abajo de uno de los pocos que no te odiaron,
estés donde estés.]..........
Necesito tiempo para digerirlo.........
Gracias
Salu2

"Quien se enfada para defender un juicio,
más que un juicio tiene un prejuicio"

-----------------------------------

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
P.S.: confundiste el método de Newton-Raphson, o 'de la tangente', con el
'de la secante' o 'regula falsi'.

En realidad no lo confundí (Antonio se ha dado cuenta),
fue un lapsus. Mi cerebro dijo "tangente" y mi mano escribió "secante".
No sabes la tarde que he pasado pensando "¿Habré escrito secante?"
También me pasa, a veces, (acostumbrado a trabajar con muchos números y no
precisamente en Loterías del Estado) que varío el orden de las cifras.
Por ejemplo leo 378 y escribo 387.
Los banqueros de antaño que cerraban caja a mano,
conocían este fenómeno como "hacer un fraile"
(tampoco soy banquero), pero esto es otra historia.....

[Antonio González]

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
P.S.: confundiste el método de Newton-Raphson, o 'de la tangente', con el
'de la secante' o 'regula falsi'.

Tampoco el de la secante y el de la regula falsi son iguales entre sí,
ya que el segundo garantiza que la raíz se encuentra entre los dos
puntos empleados en cada paso, mientras que el primero no lo hace (pero
converge más rápido habitualmente):

http://mathworld.wolfram.com/SecantMethod.html
http://mathworld.wolfram.com/MethodofFalsePosition.html
http://mathworld.wolfram.com/RegulaFalsi.html
http://www.mathpath.org/Algor/algor.square.root.iterations.htm

[Leon-Sotelo.]

Post by Antonio González

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
P.S.: confundiste el método de Newton-Raphson, o 'de la tangente', con el
'de la secante' o 'regula falsi'.

Tampoco el de la secante y el de la regula falsi son iguales entre sí,
ya que el segundo garantiza que la raíz se encuentra entre los dos
puntos empleados en cada paso, mientras que el primero no lo hace (pero
http://mathworld.wolfram.com/SecantMethod.html
http://mathworld.wolfram.com/MethodofFalsePosition.html
http://mathworld.wolfram.com/RegulaFalsi.html
http://www.mathpath.org/Algor/algor.square.root.iterations.htm

http://mathforum.org/library/drmath/view/52605.html

L.S.

[xano]

Post by Leon-Sotelo.
http://mathforum.org/library/drmath/view/52605.html
L.S.

¡Casi se me escapa con tantos enlaces juntos!
Otra joya de la historia.
Similar al Saturnino Calleja, con alguna variante, más parecido al de la
raíz cuadrada y .......en inglés ?:o)
Gracias googLeon
Salu2

"Es lento enseñar con la teoría,
breve y eficaz hacerlo con el ejemplo"
Séneca

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by Antonio González

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
P.S.: confundiste el método de Newton-Raphson, o 'de la tangente',
con el 'de la secante' o 'regula falsi'.

Tampoco el de la secante y el de la regula falsi son iguales entre sí,
ya que el segundo garantiza que la raíz se encuentra entre los dos
puntos empleados en cada paso, mientras que el primero no lo hace

En realidad estaba pensando en el método 'de la cuerda', como también se
conoce al de la 'regula falsi'. Pero escribí secante, supongo que
influenciado por la consonancia con tamgente ...

De todas formas, siempre me pareció que no compensa, en los tiempos que
corren, utilizar métodos más sofisticados, y con más exigentes condiciones
de convergencia, que el robusto método de Bolzano o bipartición, que solo
necesita de la continuidad de la función.

[Antonio Martos]

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
De todas formas, siempre me pareció que no compensa, en los tiempos que
corren, utilizar métodos más sofisticados, y con más exigentes condiciones
de convergencia, que el robusto método de Bolzano o bipartición, que solo
necesita de la continuidad de la función.

El del punto fijo tiene la ventaja, cuando se puede aplicar, de que a
menudo es comodisimo de implementar sobre la marcha para resolver algo
con una calculadora aunque no sea programable. Yo lo uso de vez en
cuando para calculos rapidos.

[xano]

"Ignacio Larrosa Cañestro" escribió
....[varias lineas omitidas antes y despues de]...

de la raíz. Pero calculamos 402^3 = 64964208, y...

Pequeña errata sin relevancia, 402^3 = 64964808
(salvo fraile)

Aparte de lo engorroso del método, cosa que a mi no me importa, ésta es
justamente la parte del procedimiento que no me convence, pues no asegura la
cifra 'a la primera'.
Pero es un documentazo.
Salu2

"Muchos creen que tener talento es una suerte,
nadie que la suerte pueda ser una cuestión de talento"
Jacinto Benavente

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by xano
"Ignacio Larrosa Cañestro" escribió
....[varias lineas omitidas antes y despues de]...

de la raíz. Pero calculamos 402^3 = 64964208, y...

Pequeña errata sin relevancia, 402^3 = 64964808
(salvo fraile)
Aparte de lo engorroso del método, cosa que a mi no me importa, ésta
es justamente la parte del procedimiento que no me convence, pues no
asegura la cifra 'a la primera'.

Pero es lo mismo que pasa con el algoritmo de la raíz cuadrada. Por ejemplo,
al hallar la raíz cuadrada de 143.

Post by xano
Pero es un documentazo.
Salu2
"Muchos creen que tener talento es una suerte,
nadie que la suerte pueda ser una cuestión de talento"
Jacinto Benavente