Circunferencia inscrita en sector

[Ignacio Larrosa Cañestro]

El área de un sector circular y la de la circunferencia inscrita en el están
en la proporción 3/2. Determinar los valores posibles del ángulo central del
sector.

[a***@gmail.com]

On 8 nov, 02:00, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
El área de un sector circular y la de la circunferencia inscrita en el están
en la proporción 3/2. Determinar los valores posibles del ángulo central del
sector.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

Ola,

Llamo 'R' el radio del círculo grande,
'r' el radio del círculo inscrito y
'a' el ángulo central del sector.
Aquí está mi solución perezosa (con la ayuda de "Mathematica"):


In[1]:=areaSector=a*R^2/2;

In[2]:={x1,x2} = x /. Solve[(x-(R-r))^2+y^2 == r^2 && y ==
x*Tan[a/2],x,y];

In[3]:=rr = Solve[x1 == x2, r];

In[4]:={e1,e2} = areaSector/(Pi*r^2) == 3/2 /. rr // Simplify[#, 0<a<Pi
&& 0<r<R]&

Out[4]={3*Pi*(Sec[a/2] + Tan[a/2])^2 == a*Cot[a/2]^2,
(a*Csc[a/2]^2*(Cos[a/4] + Sin[a/4])^4)/(2*Pi) == 3/2}

In[5]:=FindRoot[e1, {a,1.}]

Out[5]={a -> 0.306966}

In[6]:=FindRoot[e2, {a,1.}]

Out[6]={a -> 1.0472}


Saludos


V.Astanoff

[Javier Esquinas]

Post by a***@gmail.com
On 8 nov, 02:00, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
El área de un sector circular y la de la circunferencia inscrita en el están
en la proporción 3/2. Determinar los valores posibles del ángulo central del
sector.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

Ola,
Llamo 'R' el radio del círculo grande,
'r' el radio del círculo inscrito y
'a' el ángulo central del sector.
In[1]:=areaSector=a*R^2/2;
In[2]:={x1,x2} = x /. Solve[(x-(R-r))^2+y^2 == r^2 && y ==
x*Tan[a/2],x,y];
In[3]:=rr = Solve[x1 == x2, r];
In[4]:={e1,e2} = areaSector/(Pi*r^2) == 3/2 /. rr // Simplify[#, 0<a<Pi
&& 0<r<R]&
Out[4]={3*Pi*(Sec[a/2] + Tan[a/2])^2 == a*Cot[a/2]^2,
(a*Csc[a/2]^2*(Cos[a/4] + Sin[a/4])^4)/(2*Pi) == 3/2}
In[5]:=FindRoot[e1, {a,1.}]
Out[5]={a -> 0.306966}
In[6]:=FindRoot[e2, {a,1.}]
Out[6]={a -> 1.0472}
Saludos
V.Astanoff

Bueno,antes de nada ,el problema tiene soluciones "redondas" Ignacio?
A mí me sale que hay que resolver la ecuación 2x(1 + senx)^2 =
3Pi.(senx)^2 que no parece
muy emocionante así a simple vista.Tanteando ,y si no me he
equivocado,tiene una raiz entre 45º y 60º.

[Javier Esquinas]

Post by Javier Esquinas

Post by a***@gmail.com
On 8 nov, 02:00, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
El área de un sector circular y la de la circunferencia inscrita en el están
en la proporción 3/2. Determinar los valores posibles del ángulo central del
sector.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

Ola,
Llamo 'R' el radio del círculo grande,
'r' el radio del círculo inscrito y
'a' el ángulo central del sector.
In[1]:=areaSector=a*R^2/2;
In[2]:={x1,x2} = x /. Solve[(x-(R-r))^2+y^2 == r^2 && y ==
x*Tan[a/2],x,y];
In[3]:=rr = Solve[x1 == x2, r];
In[4]:={e1,e2} = areaSector/(Pi*r^2) == 3/2 /. rr // Simplify[#, 0<a<Pi
&& 0<r<R]&
Out[4]={3*Pi*(Sec[a/2] + Tan[a/2])^2 == a*Cot[a/2]^2,
(a*Csc[a/2]^2*(Cos[a/4] + Sin[a/4])^4)/(2*Pi) == 3/2}
In[5]:=FindRoot[e1, {a,1.}]
Out[5]={a -> 0.306966}
In[6]:=FindRoot[e2, {a,1.}]
Out[6]={a -> 1.0472}
Saludos
V.Astanoff

Bueno,antes de nada ,el problema tiene soluciones "redondas" Ignacio?
A mí me sale que hay que resolver la ecuación 2x(1 + senx)^2 =
3Pi.(senx)^2 que no parece
muy emocionante así a simple vista.Tanteando ,y si no me he
equivocado,tiene una raiz entre 45º y 60º.

Bueno,realmente el ángulo x no es el que pide el problema,a ver si
alguien se va a liar.

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas

Post by a***@gmail.com
On 8 nov, 02:00, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
El área de un sector circular y la de la circunferencia inscrita
en el están en la proporción 3/2. Determinar los valores posibles
del ángulo central del sector.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

Ola,
Llamo 'R' el radio del círculo grande,
'r' el radio del círculo inscrito y
'a' el ángulo central del sector.
In[1]:=areaSector=a*R^2/2;
In[2]:={x1,x2} = x /. Solve[(x-(R-r))^2+y^2 == r^2 && y ==
x*Tan[a/2],x,y];
In[3]:=rr = Solve[x1 == x2, r];
In[4]:={e1,e2} = areaSector/(Pi*r^2) == 3/2 /. rr // Simplify[#,
0<a<Pi && 0<r<R]&
Out[4]={3*Pi*(Sec[a/2] + Tan[a/2])^2 == a*Cot[a/2]^2,
(a*Csc[a/2]^2*(Cos[a/4] + Sin[a/4])^4)/(2*Pi) == 3/2}
In[5]:=FindRoot[e1, {a,1.}]
Out[5]={a -> 0.306966}
In[6]:=FindRoot[e2, {a,1.}]
Out[6]={a -> 1.0472}
Saludos
V.Astanoff

Bueno,antes de nada ,el problema tiene soluciones "redondas" Ignacio?
A mí me sale que hay que resolver la ecuación 2x(1 + senx)^2 =
3Pi.(senx)^2 que no parece
muy emocionante así a simple vista.Tanteando ,y si no me he
equivocado,tiene una raiz entre 45º y 60º.

Bueno,realmente el ángulo x no es el que pide el problema,a ver si
alguien se va a liar.

El ángulo x que utilizas es la mitad del que se pide.

Y si que tiene soluciones 'redondas', en grados sexágesimales. E incluso más
'redondas si se expresan como múltiplos racionales de pi.

Una de ellas es muy fácil de ver, no hay más que dividir una circunferencia
en 6 sectores iguales ...

Astanoff, pilotando 'Mathematica', realmente las encontró. Solo hace falta
ponerlas en grados para que quede bonito del todo. Pero encontrar la segunda
solución sin 'software', a puro 'wetware', parece algo complicado ...

[Javier Esquinas]

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas

Post by a***@gmail.com
On 8 nov, 02:00, "Ignacio Larrosa Cañestro"

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
El área de un sector circular y la de la circunferencia inscrita
en el están en la proporción 3/2. Determinar los valores posibles
del ángulo central del sector.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

Ola,
Llamo 'R' el radio del círculo grande,
'r' el radio del círculo inscrito y
'a' el ángulo central del sector.
In[1]:=areaSector=a*R^2/2;
In[2]:={x1,x2} = x /. Solve[(x-(R-r))^2+y^2 == r^2 && y ==
x*Tan[a/2],x,y];
In[3]:=rr = Solve[x1 == x2, r];
In[4]:={e1,e2} = areaSector/(Pi*r^2) == 3/2 /. rr // Simplify[#,
0<a<Pi && 0<r<R]&
Out[4]={3*Pi*(Sec[a/2] + Tan[a/2])^2 == a*Cot[a/2]^2,
(a*Csc[a/2]^2*(Cos[a/4] + Sin[a/4])^4)/(2*Pi) == 3/2}
In[5]:=FindRoot[e1, {a,1.}]
Out[5]={a -> 0.306966}
In[6]:=FindRoot[e2, {a,1.}]
Out[6]={a -> 1.0472}
Saludos
V.Astanoff

Bueno,antes de nada ,el problema tiene soluciones "redondas" Ignacio?
A mí me sale que hay que resolver la ecuación 2x(1 + senx)^2 =
3Pi.(senx)^2 que no parece
muy emocionante así a simple vista.Tanteando ,y si no me he
equivocado,tiene una raiz entre 45º y 60º.

Bueno,realmente el ángulo x no es el que pide el problema,a ver si
alguien se va a liar.

El ángulo x que utilizas es la mitad del que se pide.
Y si que tiene soluciones 'redondas', en grados sexágesimales. E incluso más
'redondas si se expresan como múltiplos racionales de pi.
Una de ellas es muy fácil de ver, no hay más que dividir una circunferencia
en 6 sectores iguales ...
Astanoff, pilotando 'Mathematica', realmente las encontró. Solo hace falta
ponerlas en grados para que quede bonito del todo. Pero encontrar la segunda
solución sin 'software', a puro 'wetware', parece algo complicado ...
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

Bueno,es claro que la primera solución son 30º=Pi/6

Solucion

[Javier Esquinas]

Post by Javier Esquinas
Bueno,es claro que la primera solución son 30º=Pi/6

Perdón,que estoy usando una variable auxiliar.El primer ángulo que
resuelve el problema es 60º=Pi/3.

[Javier Esquinas]

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas
Bueno,es claro que la primera solución son 30º=Pi/6

Perdón,que estoy usando una variable auxiliar.El primer ángulo que
resuelve el problema es 60º=Pi/3.

Bueno,y la otra solución es 108º=3Pi/10.Ahora ,otra cosa es
demostrarlo.

Saludos

[Javier Esquinas]

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas
Bueno,es claro que la primera solución son 30º=Pi/6

Perdón,que estoy usando una variable auxiliar.El primer ángulo que
resuelve el problema es 60º=Pi/3.

Bueno,y la otra solución es 108º=3Pi/10.Ahora ,otra cosa es
demostrarlo.
Saludos

Luego lo miro bien,pero una forma de demostrarlo (eso sí,sabiendo la
solución ) es obtener que sen54º= (1 + rq(3))/4.Para comprobarlo
obseravmos que 5.54º=270º.Bastaría entonces demostrar que sen54º es
solución de la ecuación sen(5.54º) = -1.Obteniendo el desarrollo de
sen5x en función de senx por la fórmula de De Moivre seguro que se
llega.Luego lo intento.

Saludos.

[Javier Esquinas]

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas
Bueno,es claro que la primera solución son 30º=Pi/6

Perdón,que estoy usando una variable auxiliar.El primer ángulo que
resuelve el problema es 60º=Pi/3.

Bueno,y la otra solución es 108º=3Pi/10.Ahora ,otra cosa es
demostrarlo.
Saludos

Luego lo miro bien,pero una forma de demostrarlo (eso sí,sabiendo la
solución ) es obtener que sen54º= (1 + rq(3))/4.Para comprobarlo
obseravmos que 5.54º=270º.Bastaría entonces demostrar que sen54º es
solución de la ecuación sen(5.54º) = -1.Obteniendo el desarrollo de
sen5x en función de senx por la fórmula de De Moivre seguro que se
llega.Luego lo intento.
Saludos.

Pues efectivamente es cierto.Antes de nada una corrección : senx= (1
+rq(5))/2.Veremos entonces que este valor hace que cos(5x) = 0 y por
tanto que x = 54º.

Lo voy a indicar :
Por la fórmula de De Moivre:

cos(5x) = (cosx)^5 - 10(cosx)^3.(senx)^2 + 5cosx.(senx)^4

A partir de senx= (1 +rq(5))/2 obtenemos que cos(5x) = 0 ,luego x =
54º.
Puesto que en mi ecuación original 2x(1 + senx)^ = 3Pi(senx)^2 siendo
x la mitad del ángulo que resuelve el problema se tiene que la otra
solución es 2.54º=108º.

Ahora bien,no nos engañemos,lo he demostrado sabiendo la
solución.Otra cosa muy distinta es llegar a la solución.Me recuerda a
aquel de tg15º.tg25º.tg35º.

Saludos.

[Javier Esquinas]

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas

Post by Javier Esquinas
Bueno,es claro que la primera solución son 30º=Pi/6

Perdón,que estoy usando una variable auxiliar.El primer ángulo que
resuelve el problema es 60º=Pi/3.

Bueno,y la otra solución es 108º=3Pi/10.Ahora ,otra cosa es
demostrarlo.
Saludos

Luego lo miro bien,pero una forma de demostrarlo (eso sí,sabiendo la
solución ) es obtener que sen54º= (1 + rq(3))/4.Para comprobarlo
obseravmos que 5.54º=270º.Bastaría entonces demostrar que sen54º es
solución de la ecuación sen(5.54º) = -1.Obteniendo el desarrollo de
sen5x en función de senx por la fórmula de De Moivre seguro que se
llega.Luego lo intento.
Saludos.

Pues efectivamente es cierto.Antes de nada una corrección : senx= (1
+rq(5))/2.Veremos entonces que este valor hace que cos(5x) = 0 y por
tanto que x = 54º.
cos(5x) = (cosx)^5 - 10(cosx)^3.(senx)^2 + 5cosx.(senx)^4
A partir de senx= (1 +rq(5))/2 obtenemos que cos(5x) = 0 ,luego x =
54º.
Puesto que en mi ecuación original 2x(1 + senx)^ = 3Pi(senx)^2 siendo
x la mitad del ángulo que resuelve el problema se tiene que la otra
solución es 2.54º=108º.
Ahora bien,no nos engañemos,lo he demostrado sabiendo la
solución.Otra cosa muy distinta es llegar a la solución.Me recuerda a
aquel de tg15º.tg25º.tg35º.
Saludos.

Lo siento,porque mi patosería llega a límites extremos : sen54º= (1
+rq(5))/4.

EL denominador es un 4 ,y no un 2 como había puesto antes.

PD: realmente sen54º = cos36º .Este valor había salido ya antes en
algún problema.

Saludos.