Topología Continuidad II

[C***@gmail.com]

Hola.

Sea la topología T con la base B = { [a,b) | a,b en R, a < b } y Tu la
topología usual en R.

Sea la función f: (R,T)-------->(R,Tu) definida por: f(x) = [x] = max{n
en Z | n <= x}.

La función "parte entera", de R en R no es continua, ya que no lo es para
los enteros.

Sin embargo, la función definida desde la recta de Sorgenfrey en R usual, si
es continua. ¿Por qué?.

Tomando un sistema fundamental de entorno para cada x en la recta de
Sorgenfrey, [x, x + r), tenemos que demostrar que f-1([x, x + r)) es un
abierto en la recta de Sorgenfrey.

Como la función va a la recta R con la topología usual, un entorno W en E(
f(x) ) tiene que ser un intervalo abierto ( un abierto de R ).

¿Cómo demuestro que f^-1(W) está en E(x) ( es un entorno en la recta de
Sorgenfrey ) ?.

Muchísimas gracias.

[C***@gmail.com]

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Tomando un sistema fundamental de entorno para cada x en la recta de
Sorgenfrey, [x, x + r), tenemos que demostrar que f-1([x, x + r)) es un
abierto en la recta de Sorgenfrey.

Creo que me he equivocado aquí. Tenemos que tomar un abierto de Tu ( x -
epsilon, x + epsilon), y demostrar que:

f^-1(( x - epsilon, x + epsilon)) es un abieto en la topología T. ¿No es
así?.

Muchas gracias.

Post by C***@gmail.com
Hola.
Sea la topología T con la base B = { [a,b) | a,b en R, a < b } y Tu la
topología usual en R.
Sea la función f: (R,T)-------->(R,Tu) definida por: f(x) = [x] = max{n
en Z | n <= x}.
La función "parte entera", de R en R no es continua, ya que no lo es para
los enteros.
Sin embargo, la función definida desde la recta de Sorgenfrey en R usual, si
es continua. ¿Por qué?.
Tomando un sistema fundamental de entorno para cada x en la recta de
Sorgenfrey, [x, x + r), tenemos que demostrar que f-1([x, x + r)) es un
abierto en la recta de Sorgenfrey.
Como la función va a la recta R con la topología usual, un entorno W en E(
f(x) ) tiene que ser un intervalo abierto ( un abierto de R ).
¿Cómo demuestro que f^-1(W) está en E(x) ( es un entorno en la recta de
Sorgenfrey ) ?.
Muchísimas gracias.

[j***@gmail.com]

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Tomando un sistema fundamental de entorno para cada x en la recta de
Sorgenfrey, [x, x + r), tenemos que demostrar que f-1([x, x + r)) es un
abierto en la recta de Sorgenfrey.

Creo que me he equivocado aquí. Tenemos que tomar un abierto de Tu ( x -
f^-1(( x - epsilon, x + epsilon)) es un abieto en la topología T. ¿No es
así?.

Efectivamente. Sea W un abierto en (R,Tu), y sea x cualquier real en
f^-1(W). Entonces f(x) = [x] está en W. Pero en todo el intervalo [x,
[x]+1) la función f toma el mismo valor [x], por lo tanto [x, [x]+1)
está contenido en f^-1(W), que así resulta ser abierto.

Observa que la topología que se tome en el contradominio es
irrelevante: si en el dominio tomas la topología de los intervalos
semicerrados a izquierda, f(x) = [x] va a ser siempre continua. Más en
general, esto ocurre con cualquier función localmente constante: son
continuas cualquiera que sea la topología que se tome en el
contradominio.

Saludos,

José H. Nieto