Tres sucesiones

[Luis]

Estudiar la convergencia de las sucesiones

a(n) = sen( n/(n^2+1) )

b(n) = cos^2 ( n pi/2 )

c(n) = cos( rq(n^2+1) ) log(n) / n

Saludos,

[Ignacio Larrosa Cañestro]

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Newsgroups: es.ciencia.matematicas
Sent: Tuesday, February 18, 2014 3:34 AM
Subject: Tres sucesiones

Post by Luis
Estudiar la convergencia de las sucesiones
a(n) = sen( n/(n^2+1) )

Divergente, pues lim(sen(n/(n^2 + 1))/(1/n), n, inf) = 1, por lo que ambas
series tienen el mismo carácter.

Post by Luis
b(n) = cos^2 ( n pi/2 )

":^) ... Todos los términos son nulos, por lo que la serie no solo converge
absolutamente, sino que su suma vale 0.

Post by Luis
c(n) = cos( rq(n^2+1) ) log(n) / n

No converge absolutamente, pues la seie de sus valores absolutos mayora a
1/n. No se le puede aplicar el criterio de Leibnitz, puesto que no es
excatamente alternada. Con otros criterios más elaborados supongo que puede
verse que es condicionalmente convergente. Incluso log(n)/n simplemente.
pero ahora no tengo tiempo de velor mŽŽas a fondo.

Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
***@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

[Luis]

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Sent: Tuesday, February 18, 2014 3:34 AM
Subject: Tres sucesiones

Post by Luis
Estudiar la convergencia de las sucesiones
a(n) = sen( n/(n^2+1) )

Divergente, pues lim(sen(n/(n^2 + 1))/(1/n), n, inf) = 1, por lo que ambas
series tienen el mismo carácter.

Post by Luis
b(n) = cos^2 ( n pi/2 )

":^) ... Todos los términos son nulos, por lo que la serie no solo
converge absolutamente, sino que su suma vale 0.

Post by Luis
c(n) = cos( rq(n^2+1) ) log(n) / n

No converge absolutamente, pues la seie de sus valores absolutos mayora a
1/n. No se le puede aplicar el criterio de Leibnitz, puesto que no es
excatamente alternada. Con otros criterios más elaborados supongo que
puede verse que es condicionalmente convergente. Incluso log(n)/n
simplemente. pero ahora no tengo tiempo de velor mŽŽas a fondo.
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

Pero son sucesiones, no series. El límite de la primera
sucesión es 0 ( convergente ), el límite de la segunda no existe
y el límite de la tercera es 0 ( convergente ).

Saludos,

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by Luis

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
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Sent: Tuesday, February 18, 2014 3:34 AM
Subject: Tres sucesiones

Post by Luis
Estudiar la convergencia de las sucesiones
a(n) = sen( n/(n^2+1) )

Divergente, pues lim(sen(n/(n^2 + 1))/(1/n), n, inf) = 1, por lo que ambas
series tienen el mismo carácter.

Post by Luis
b(n) = cos^2 ( n pi/2 )

":^) ... Todos los términos son nulos, por lo que la serie no solo
converge absolutamente, sino que su suma vale 0.

Post by Luis
c(n) = cos( rq(n^2+1) ) log(n) / n

No converge absolutamente, pues la seie de sus valores absolutos mayora a
1/n. No se le puede aplicar el criterio de Leibnitz, puesto que no es
excatamente alternada. Con otros criterios más elaborados supongo que
puede verse que es condicionalmente convergente. Incluso log(n)/n
simplemente. pero ahora no tengo tiempo de velor m´´as a fondo.
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

Pero son sucesiones, no series. El límite de la primera
sucesión es 0 ( convergente ), el límite de la segunda no existe
y el límite de la tercera es 0 ( convergente ).

Cierto, no se porque di por supuesto que eran series.

Y en cuanto a la segunda, también sobreentendí cos((2n+1)pi/2), en cuyo
caso era constantemente igual a cero. Pero no, tal y como está es
oscilante, valiendo 0 para n impar y 1 para n par.

[Dr. Wolfgang Hintze]

"Luis" schrieb im Newsbeitrag news:ldugr2$5vb$***@dont-email.me...

Estudiar la convergencia de las sucesiones

a(n) = sen( n/(n^2+1) )

b(n) = cos^2 ( n pi/2 )

c(n) = cos( rq(n^2+1) ) log(n) / n

Saludos,


Hola,

a(n) -> sen(1/n) -> 1/n divergente
b(n) -> (1,0,1,0, ...) divergente
c(n) -> cos(n) log(n)/n -> convergente (alternada, |c| ->0)

Saludos,
Wolfgang


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[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by Luis
Estudiar la convergencia de las sucesiones
a(n) = sen( n/(n^2+1) )
b(n) = cos^2 ( n pi/2 )
c(n) = cos( rq(n^2+1) ) log(n) / n
Saludos,
Hola,
a(n) -> sen(1/n) -> 1/n divergente
b(n) -> (1,0,1,0, ...) divergente
c(n) -> cos(n) log(n)/n -> convergente (alternada, |c| ->0)

Tu tambien pensaste como yo que se trataba de series ... Pero fíjate que en
la última, aún siendo probablemente convergente, no es propiamente
alternada, por lo que no puede aplicarse el criterio de Leibnitz. Si que
podríamos si fuese cos(n*pi), pero cos8n) no cambia de signo con cada valor
de n.

No recuerdo el resultado conexactitud, pero creo que bastaría con ver que
Sum(cos(n), n, 1, k) está acotada, lo que aunque razonable, no es obvio.

[Antonio González]

Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Tu tambien pensaste como yo que se trataba de series ... Pero fíjate que en
la última, aún siendo probablemente convergente, no es propiamente
alternada, por lo que no puede aplicarse el criterio de Leibnitz. Si que
podríamos si fuese cos(n*pi), pero cos8n) no cambia de signo con cada valor
de n.
No recuerdo el resultado conexactitud, pero creo que bastaría con ver que
Sum(cos(n), n, 1, k) está acotada, lo que aunque razonable, no es obvio.

sum(cos(n a),{n,0,k}) = Re(sum(exp(i na),{n,0,k}) =

= Re((1 - exp(i(k+1)a)/(1-exp(i a)) =

= Re((1 - exp(i(k+1)a))(1-exp(-ia))/(2-2cos(a)) =

= Re((1 - exp(i(k+1)a) - exp(-ia) + exp(ika))/(2-2cos(a)) =

= (1 - cos((k+1)a) - cos(a) + cos(ka))/(2-2cos(a)) =

= cos(ka/2)sen((k+1)a/2)/sen(a/2)

La única causa de posible divergencia la da el denominador, pues el
numerador está acotado. Y solo divergerá cuando el seno valga 0, lo cual
ocurre para a = 2p pi, no para a = 1.

[Dr. Wolfgang Hintze]

Post by Luis
Estudiar la convergencia de las sucesiones
a(n) = sen( n/(n^2+1) )
b(n) = cos^2 ( n pi/2 )
c(n) = cos( rq(n^2+1) ) log(n) / n
Saludos,
Hola,
a(n) -> sen(1/n) -> 1/n divergente
b(n) -> (1,0,1,0, ...) divergente
c(n) -> cos(n) log(n)/n -> convergente (alternada, |c| ->0)

Tu tambien pensaste como yo que se trataba de series ... Pero fíjate que en
la última, aún siendo probablemente convergente, no es propiamente
alternada, por lo que no puede aplicarse el criterio de Leibnitz. Si que
podríamos si fuese cos(n*pi), pero cos8n) no cambia de signo con cada valor
de n.

No recuerdo el resultado conexactitud, pero creo que bastaría con ver que
Sum(cos(n), n, 1, k) está acotada, lo que aunque razonable, no es obvio.
--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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Hemos discutido este problema antes por aquí
https://groups.google.com/d/msg/es.ciencia.matematicas/LWkzOvoMLSI/339DfM3LpKwJ

Se deb aplicar el criterio de Dirichlet, la generalización del criterio de
Leibniz.

Saludos,
Wolfgang





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[Luis]

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by Luis
Estudiar la convergencia de las sucesiones
a(n) = sen( n/(n^2+1) )
b(n) = cos^2 ( n pi/2 )
c(n) = cos( rq(n^2+1) ) log(n) / n
Saludos,
Hola,
a(n) -> sen(1/n) -> 1/n divergente
b(n) -> (1,0,1,0, ...) divergente
c(n) -> cos(n) log(n)/n -> convergente (alternada, |c| ->0)

Tu tambien pensaste como yo que se trataba de series ... Pero fíjate que
en la última, aún siendo probablemente convergente, no es propiamente
alternada, por lo que no puede aplicarse el criterio de Leibnitz. Si que
podríamos si fuese cos(n*pi), pero cos8n) no cambia de signo con cada
valor de n.
No recuerdo el resultado conexactitud, pero creo que bastaría con ver que
Sum(cos(n), n, 1, k) está acotada, lo que aunque razonable, no es obvio.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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Pero si queremos estudiar el carácter de la serie

Sum ( cos( rq(n^2+1) ) log(n) / n , n=1^inf )

usando el criterio de Dirichlet y apoyándonos en

la demostración de Antonio de que las sumas

Sum( cos(n), n=1^k ) están acotadas, habría que

probar también que

Sum (cos( rq(n^2+1) ), n=1^k ) <= Sum( cos(n), n=1^k )

¿ no ?

Saludos,