Paralelepípedo

[Luis]

Encontrar, entre todos los paralelepípedos
de superficie S, el que tiene mayor volumen.

Saludos,

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by Luis
Encontrar, entre todos los paralelepípedos
de superficie S, el que tiene mayor volumen.
Saludos,

Al transformar un paralelepípedo en un prisma recto con la misma base y
la misma altura, el volumen no cambia, pero la superficie lateral
disminuye. Por tanto, si mantenemos la superficie, aumenta el volumen.

De la misma forma, al transformar el paralelogramo de la base en un
rectángulo de la misma área, se mantiene el volumen y aumenta la
superficie de dos de las caras laterales. Nuevamente, a superficie
constante aumenta el volumen. Por tanto, podemos transformar un
paralelepípedo en un ortoedro aumentando el volumen si se mantiene la
superficie constante.

Por otra parte, podemos transformar un rectángulo de lados a y b, a > b
en un otro de igual perímetro y área menor sustituyendo a - h y b por b
+ h:

(a - h)(b + h) = ab + (a - b)h - h^2 = ab - h(a - b - h)

si h < a - b

Aplicando reiteradamente el proceso, nos aproximamos a un cuadrado, con
el mismo perímetro y área menor.

Aplicado a la base del ortoedro, lo transformamos en otro con la misma
superficie lateral y menor superficie en las bases. Con una homotecia
conveniente, lo transformamos en otro de igual superficie y mayor
volumen que el anterior. Rotando el ortoedro para que la base sea alguna
de las caras no cuadradas, llegamos a la conclusión de que el máximo
volumen se alcanza cuando el paralelepípedo es un cubo.

Su volumen será (S/6)^(3/2).

[Antonio González]

Post by Luis
Encontrar, entre todos los paralelepípedos
de superficie S, el que tiene mayor volumen.

Veamos como sería empleando máximos condicionados.

Sea O un vértice fijo que tomamos como origen y A, B y C los vértices
conectados a O. En ese caso, el volumen lo da la expresión vectorial

V = A·(B x C)

mientras la superficie es la suma de los seis paralelogramos, cada uno
de las cuales se halla mediante un producto vectorial

S = 2|A x B| + 2|A x C| + 2|B x C|

por lo que la función de Legendre es

U = A·(B x C) - L(|A x B| + |A x C| + |B x C| - S/2)

Ahora derivamos respecto a cada vector (siendo cada cálculo un
gradiente, dando como resultado un vector). Por un lado

d(A·(B x C))/dA = B x C

y por otro

d|A x B|/dA = (d/dA) rq((A x B)·(A x B)) =

= B x (A x B)/|A x B|

por lo que las ecuaciones a resolver son

B x C -L(B x (A x B)/|A x B| + C x (A x C)/|A x C|) = 0

y otras dos análogas, más la de la superficie.

Multiplicando aquí escalarmente por B

0 + 0 + B·(C x(A x B))/|A x C| = 0

es decir

(B x C)·(A x C) = 0

Puesto que B x C es el vector ortogonal a la cara definida por B y C, y
A x C el ortogonal a la de A y C, llegamos a que las caras deben ser
ortogonales y el paralelepípedo debe ser recto. En ese caso el cálculo
se reduce a la función de Lagrange

U = abc - L(ab + ac + bc - S/2)

siendo a, b y c las longitudes de las aristas. Derivando aquí

bc - L(b + c) = 0

ac - L(a + c) = 0

ab - L(a + b) = 0

sumando L^2 en cada caso

(b-L)(c-L) = (a-L)(c-L) = (a-L)(b-L) = L^2

de donde a = b = c y el paralelepípedo es un cubo.