Discussion:
Circunferencias autoinversas
(demasiado antiguo para responder)
Antonio González
2013-07-19 05:11:52 UTC
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Dado una circunferencia c1 y un punto P exterior a ella, dar una
construccion sencilla para obtener una circunferencia c2 con centro en P
y que sea su propia inversa ante una inversión respecto a c1.

En ese caso, ¿cual es la inversa de c1 respecto a c2?

¿Puede haber tres circunferencias, c1, c2 y c3 tales que cada una sea su
propia inversa respecto a las otras dos?

¿Y puede haber tres circunferencias c1, c2 y c3 tales que c1 sea la
inversa de c2 respecto a c3, la de c3 respecto a c2 y que c2 sea la
inversa de c3 respecto a c1?
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
2013-07-19 07:51:37 UTC
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Post by Antonio González
Dado una circunferencia c1 y un punto P exterior a ella, dar una
construccion sencilla para obtener una circunferencia c2 con centro en P
y que sea su propia inversa ante una inversión respecto a c1.
Dado que la inversión conserva los ángulos, la circunferencia
autoinversa debe ser ortogonal a la circunferencia de inversión.
Entonces la construcción es simple: Si O es el punto medio de c1, se
traza la circunferencia de diámetro OP, que cortará a c1 en Q y Q'. La
fircunferencia c2 será la de centro P y que pasa por Q
Post by Antonio González
En ese caso, ¿cual es la inversa de c1 respecto a c2?
Obviamente c1.
Post by Antonio González
¿Puede haber tres circunferencias, c1, c2 y c3 tales que cada una sea su
propia inversa respecto a las otras dos?
Si, como queda dicho de antes, basta con que sean ortogonales. Entonces,
dadas dos circunferencias ortogonales, podemos elegir cualquier punto P
que esté en su eje radical y sea exterior a ellas, como centro de una
tercera circunferencia ortogonal a ambas. Su radio será la longitud de
las tangentes trazadas desde P a ambas circunferencias, iguales por
estar P en el eje radical.
Post by Antonio González
¿Y puede haber tres circunferencias c1, c2 y c3 tales que c1 sea la
inversa de c2 respecto a c3, la de c3 respecto a c2 y que c2 sea la
inversa de c3 respecto a c1?
Si, deben ser coaxiales y cortarse entre si formando ángulos de 60º.
Igualmente podrían hacerse ciclos de cualquier longitud, de manera que
cada una fuese la inversa de las dos anteriores
--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
***@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
Antonio González
2013-07-22 10:22:49 UTC
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Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Post by Antonio González
Dado una circunferencia c1 y un punto P exterior a ella, dar una
construccion sencilla para obtener una circunferencia c2 con centro en P
y que sea su propia inversa ante una inversión respecto a c1.
Dado que la inversión conserva los ángulos, la circunferencia
autoinversa debe ser ortogonal a la circunferencia de inversión.
Entonces la construcción es simple: Si O es el punto medio de c1, se
traza la circunferencia de diámetro OP, que cortará a c1 en Q y Q'. La
fircunferencia c2 será la de centro P y que pasa por Q
Post by Antonio González
En ese caso, ¿cual es la inversa de c1 respecto a c2?
Obviamente c1.
Post by Antonio González
¿Puede haber tres circunferencias, c1, c2 y c3 tales que cada una sea su
propia inversa respecto a las otras dos?
Si, como queda dicho de antes, basta con que sean ortogonales. Entonces,
dadas dos circunferencias ortogonales, podemos elegir cualquier punto P
que esté en su eje radical y sea exterior a ellas, como centro de una
tercera circunferencia ortogonal a ambas. Su radio será la longitud de
las tangentes trazadas desde P a ambas circunferencias, iguales por
estar P en el eje radical.
Por darle la vuelta a este resultado:

Dados tres puntos A, B y C, arbitrarios, dar una construcción sencilla
para trazar las circunferencias centradas en ellos y que son ortogonales
entre sí.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
2013-07-22 17:53:55 UTC
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Post by Antonio González
Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Post by Antonio González
Dado una circunferencia c1 y un punto P exterior a ella, dar una
construccion sencilla para obtener una circunferencia c2 con centro en P
y que sea su propia inversa ante una inversión respecto a c1.
Dado que la inversión conserva los ángulos, la circunferencia
autoinversa debe ser ortogonal a la circunferencia de inversión.
Entonces la construcción es simple: Si O es el punto medio de c1, se
traza la circunferencia de diámetro OP, que cortará a c1 en Q y Q'. La
fircunferencia c2 será la de centro P y que pasa por Q
Post by Antonio González
En ese caso, ¿cual es la inversa de c1 respecto a c2?
Obviamente c1.
Post by Antonio González
¿Puede haber tres circunferencias, c1, c2 y c3 tales que cada una sea su
propia inversa respecto a las otras dos?
Si, como queda dicho de antes, basta con que sean ortogonales. Entonces,
dadas dos circunferencias ortogonales, podemos elegir cualquier punto P
que esté en su eje radical y sea exterior a ellas, como centro de una
tercera circunferencia ortogonal a ambas. Su radio será la longitud de
las tangentes trazadas desde P a ambas circunferencias, iguales por
estar P en el eje radical.
Dados tres puntos A, B y C, arbitrarios, dar una construcción sencilla
para trazar las circunferencias centradas en ellos y que son ortogonales
entre sí.
Los puntos deben ser los vértices de un triángulo acutángulo. En esas
condiciones, la terna de circunferencias existe y es única. Ahí está la
construcción:

http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/3_Circ_Ortog_centros_dados.html
--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
***@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
Antonio González
2013-07-22 19:27:15 UTC
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Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Post by Antonio González
Post by Ignacio Larrosa Cañestro
Post by Antonio González
Dado una circunferencia c1 y un punto P exterior a ella, dar una
construccion sencilla para obtener una circunferencia c2 con centro en P
y que sea su propia inversa ante una inversión respecto a c1.
Dado que la inversión conserva los ángulos, la circunferencia
autoinversa debe ser ortogonal a la circunferencia de inversión.
Entonces la construcción es simple: Si O es el punto medio de c1, se
traza la circunferencia de diámetro OP, que cortará a c1 en Q y Q'. La
fircunferencia c2 será la de centro P y que pasa por Q
Post by Antonio González
En ese caso, ¿cual es la inversa de c1 respecto a c2?
Obviamente c1.
Post by Antonio González
¿Puede haber tres circunferencias, c1, c2 y c3 tales que cada una sea su
propia inversa respecto a las otras dos?
Si, como queda dicho de antes, basta con que sean ortogonales. Entonces,
dadas dos circunferencias ortogonales, podemos elegir cualquier punto P
que esté en su eje radical y sea exterior a ellas, como centro de una
tercera circunferencia ortogonal a ambas. Su radio será la longitud de
las tangentes trazadas desde P a ambas circunferencias, iguales por
estar P en el eje radical.
Dados tres puntos A, B y C, arbitrarios, dar una construcción sencilla
para trazar las circunferencias centradas en ellos y que son ortogonales
entre sí.
Los puntos deben ser los vértices de un triángulo acutángulo. En esas
condiciones, la terna de circunferencias existe y es única. Ahí está la
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/3_Circ_Ortog_centros_dados.html
Una versión más simétrica, pero más larga ya que es una versión
extendida de la tuya, sería trazar las alturas del triangulo ABC, que
tienen pies en A' B' y C'.

Trazamos la circunferencia cC que pasa por A, B, A' y B', y las otras
dos, cA y cB del mismo tipo.

Marcamos la intersección A'' de la circunferencia cA con la altura AA',
perpendicular al lado BC que es su diámetro. Igualmente marcamos B'' y C''.

Una de las circunferencias buscadas tiene centro A y pasa por B'' y C'',
análogamente las otras dos.

Las alturas son simultáneamente los ejes radicales de los pares de
circunferencias.
--
Antonio
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