explicacion

[kum]

Ignacio viendo un ejercicio que resolviste aqui

https://groups.google.com/forum/#!searchin/es.ciencia.matematicas/ignacio%7Csort:date/es.ciencia.matematicas/BkZeaWXC2N0/fV-AiNcJBAAJ

en este punto
----------------------------------------------------------------
Si ahora haces t = x + 1/x,

t^2 = x^2 + 1/x^2 + 2 ===> x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2
t^3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x) ===> x^3 + 1/x^3 = t^3 - 3t
t^4 = ...

Te queda así un polinomio de cuarto grado en t

t^4 - 7t^3 +10t^2 + 7t + 1 = 0

En este, si t_0 es una raíz, otra es -1/t_0. Entonces, y lo dije bien de
palabra pero luego lo escribí mal en mi anterior mensaje, hay que hacer
s = t - 1/t. Lo que por otra parte se hace evidente al dividir por t^2:
-----------------------------------------------------------------------

hay algun teorema que justifique esta afirmacion
En este, si t_0 es una raíz, otra es -1/t_0

gracias

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Post by kum
Ignacio viendo un ejercicio que resolviste aqui
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en este punto
----------------------------------------------------------------
Si ahora haces t = x + 1/x,
t^2 = x^2 + 1/x^2 + 2 ===> x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2
t^3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x) ===> x^3 + 1/x^3 = t^3 - 3t
t^4 = ...
Te queda así un polinomio de cuarto grado en t
t^4 - 7t^3 +10t^2 + 7t + 1 = 0
En este, si t_0 es una raíz, otra es -1/t_0. Entonces, y lo dije bien de
palabra pero luego lo escribí mal en mi anterior mensaje, hay que hacer
-----------------------------------------------------------------------
hay algun teorema que justifique esta afirmacion
En este, si t_0 es una raíz, otra es -1/t_0
gracias

No se si tiene nombre, pero es inmediato de comprobar. No hay más que
reemplazar t = -1/u:

(-1/u)^4 - 7(-1/u)^3 + 10(-1/u)^2 + 7(-1/u) + 1 = 0
1/u^4 + 7/u^3 + 10/u^2 - 7/u + 1 = 0

Multiplicando ahora por u^4,

u^4-7u^3+10u^2+7y+1=0

Exactamente la misma ecuación, por lo que si t es una solución, también
lo es -1/t. Para que esto ocurra, los coeficientes de los términos de
grado par igualmente distanciados de los extremos deben ser del mismo
signo, y los de grado impar igualmente distanciados, de signo contrario.

Si todos los coeficientes igualmente distanciados son iguales, entonces
el polinomio es simétrico y si t es una raíz, también lo es 1/t. El caso
anterior creo que se conoce como polinomio antisim´ñetrico, pero no
estoy seguro.

Disculpa el retraso en contestarte, pero es que ante la ausencia casi
completa de mensajes on-topic, cada vez miro el grupo con menos frecuencia.

[kum]

Post by Ignacio Larrosa Cañestro

Post by kum
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en este punto
----------------------------------------------------------------
Si ahora haces t = x + 1/x,
t^2 = x^2 + 1/x^2 + 2 ===> x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2
t^3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x) ===> x^3 + 1/x^3 = t^3 - 3t
t^4 = ...
Te queda así un polinomio de cuarto grado en t
t^4 - 7t^3 +10t^2 + 7t + 1 = 0
En este, si t_0 es una raíz, otra es -1/t_0. Entonces, y lo dije bien de
palabra pero luego lo escribí mal en mi anterior mensaje, hay que hacer
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hay algun teorema que justifique esta afirmacion
En este, si t_0 es una raíz, otra es -1/t_0
gracias

No se si tiene nombre, pero es inmediato de comprobar. No hay más que
(-1/u)^4 - 7(-1/u)^3 + 10(-1/u)^2 + 7(-1/u) + 1 = 0
1/u^4 + 7/u^3 + 10/u^2 - 7/u + 1 = 0
Multiplicando ahora por u^4,
u^4-7u^3+10u^2+7y+1=0
Exactamente la misma ecuación, por lo que si t es una solución, también
lo es -1/t. Para que esto ocurra, los coeficientes de los términos de
grado par igualmente distanciados de los extremos deben ser del mismo
signo, y los de grado impar igualmente distanciados, de signo contrario.
Si todos los coeficientes igualmente distanciados son iguales, entonces
el polinomio es simétrico y si t es una raíz, también lo es 1/t. El caso
anterior creo que se conoce como polinomio antisim´ñetrico, pero no
estoy seguro.
Disculpa el retraso en contestarte, pero es que ante la ausencia casi
completa de mensajes on-topic, cada vez miro el grupo con menos frecuencia.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

muchas gracias por la aclaracion