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Curvas ortogonales
Antonio González
2005-11-20 22:13:26 UTC
Sea la familia de curvas, dependientes del parámetro a, dadas por

y = rq(x^2 + rq(ax+4x^6)/(rq(5)x))

Calcular la ecuación de la familia de curvas ortogonales a éstas.
--
Antonio
Antonio González
2005-11-24 17:26:43 UTC
Post by Antonio González
Sea la familia de curvas, dependientes del parámetro a, dadas por
y = rq(x^2 + rq(ax+4x^6)/(rq(5)x))
Calcular la ecuación de la familia de curvas ortogonales a éstas.
Este se ha quedado huérfano. Veamos la solución.

Para hallar las curvas ortogonales una posibilidad es expresar

a = a(x,y)

calcular su gradiente y luego hallar las líneas de campo del gradiente.

Despejando a

y^2 = x^2+ rq(ax + 4x^6)/(rq(5)x)

rq(5)(y^2x-x^3) = rq(ax + 4x^6)

5(y^4x^2 -2x^4y^2 + x^6) = ax + 4x^6

a = x^5 - 10x^3y^2 + 5xy^4

pero una rápida inspección muestra que

a = Re((x+iy)^5)

por tanto no hay más que calcular. las curvas ortogonales son las dadas por

b = Im((x+iy)^5) = 5x^4y - 10x^2y^3 + y^5

La explicación está en las condiciones de Cauchy-Riemann, que hacen que
las curvas a=cte sean ortogonales a las b=cte.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
2005-11-24 17:46:35 UTC
Post by Antonio González
Post by Antonio González
Sea la familia de curvas, dependientes del parámetro a, dadas por
y = rq(x^2 + rq(ax+4x^6)/(rq(5)x))
Calcular la ecuación de la familia de curvas ortogonales a éstas.
Este se ha quedado huérfano. Veamos la solución.
Para hallar las curvas ortogonales una posibilidad es expresar
a = a(x,y)
calcular su gradiente y luego hallar las líneas de campo del
gradiente.
Despejando a
y^2 = x^2+ rq(ax + 4x^6)/(rq(5)x)
rq(5)(y^2x-x^3) = rq(ax + 4x^6)
5(y^4x^2 -2x^4y^2 + x^6) = ax + 4x^6
a = x^5 - 10x^3y^2 + 5xy^4
pero una rápida inspección muestra que
a = Re((x+iy)^5)
por tanto no hay más que calcular. las curvas ortogonales son las dadas por
b = Im((x+iy)^5) = 5x^4y - 10x^2y^3 + y^5
La explicación está en las condiciones de Cauchy-Riemann, que hacen
que las curvas a=cte sean ortogonales a las b=cte.
Si se represantan un conjunto de ellas, por ejemplo -5 <= a, b <= 5, con a y
b enteros, queda francamente curioso.
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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
***@mundo-r.com